Los cuadernos de Ramanujan contienen el resultado$$\prod_{k=1}^{\infty} \Big( 1 + \frac{1}{k^3}\Big) = \frac{1}{\pi} \mathrm{cosh}\Big( \frac{\pi \sqrt{3}}{2}\Big).$ $ No parece que esto se haya demostrado allí, pero creo que es bien conocido. ¿Cómo pudiste mostrar esto?
Respuesta
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Dado que el producto Weierstrass para la función Gamma proporciona:$$\frac{1}{\Gamma(z)} = z\, e^{\gamma z}\cdot \prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-\frac{z}{k}}$ $ dado que$\omega$ es una tercera raíz primitiva de la unidad, tenemos:$$\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{z^3}{k^3}\right)=\frac{1}{z^3 \Gamma(z)\Gamma(\omega z)\Gamma(\omega^2 z)}=\frac{1}{\Gamma(z+1)\Gamma(\omega z+1)\Gamma(\omega^2z+1)},$ $ por lo tanto:$$\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k^3}\right)=\frac{1}{\Gamma(\omega+1)\Gamma(\omega^2+1)},$ $ pero desde $(\omega+1)+(\omega^2+1)=1$ y$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)},$ $ sigue que:$$\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k^3}\right)=\frac{1}{\pi}\sin(\pi(\omega+1))=\frac{1}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}+i\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{\pi}\cosh\frac{\pi\sqrt{3}}{2}.$ $
