Supongo que para un Lorenz colector (es decir, con Minkowski de la firma), el análogo de una bola abierta es el interior de un cono de luz. Mi pregunta es motivado por la observación de que mientras que cualquier punto en la frontera de un abierto balón en un Rimannian colector (es decir, con Euclidiana firma) pueden ser considerados simultáneamente interior a un número infinito de otras bolas (y exterior a un número infinito de otros) el límite de un cono de luz se asocia con una métrica de intervalo, que es distinta de la timelike y spacelike intervalos. Por esa razón, me pregunto si esto introduce más sutilezas y/o restricciones en la construcción de un espacio-tiempo de la topología. En relación con esta pregunta es en qué circunstancias (si cualquiera) puede puntos individuales de estar asociado con ciertos tipos de intervalos (por ejemplo, Spacelike, timelike, null).
Respuesta
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Como Lubo dice, no hay ningún punto en el intento de definir la topología (asumo que usted está tratando de construir la topología, en su mayoría rigrorous sentido, a partir de una base -- el conjunto de abrir bolas) a través de lightcones. La razón es que para un razonable topología usted debe tener arbitraria pequeños(en algún sentido intuitivo) abierto, por lo que las declaraciones como "existe un conjunto abierto tal que..", de hecho, significa que lo que queremos (es decir, "existe un pequeño suficiente abrir la bola tal que"). El lightcones no son en ningún sentido pequeño, y su topología no ver la continuidad que estamos acostumbrados.
Así, uno puede decir, olvidarse de la intuición, vamos a ver donde estas conos nos va a llevar.
- No podemos decir que el interior de la plena conos de luz, que se define como todo el espacio-tiempo puntos en un timelike la separación de un punto dado, forman una base de la topología. La razón es que una intersección de dos abiertos lightcones no puede ser representado como una unión de una infinita cantidad de abrir conos de luz.
- Podemos, sin embargo, requieren no sólo de un timelike de separación, sino un timelike separación mayor de algo. O permitir sólo el positivo de la mitad-lightcones. Esto funcionará como una base de una topología (al menos la segunda opción), pero en la topología resultante de cualquier conjunto abierto contendrá junto con un punto de toda la positiva lightcone derivados a partir de ese punto. Esta topología no es una sola la que están acostumbrados. No es Hausdorff, "colas" casualmente conectadas los pares de puntos.
- Otra opción es la afirmación de que los lightcones formar una prebase de la topología. La intersección de dos lightcones uno sobre el otro le da algo muy similar a una unidad de la bola. Supongo que en este caso, usted recibirá la topología de la base del colector. Em, sí, usted tiene que tener un subyacente colector con el fin de definir un Lorenzian métrica y la lightcones thenselves..
Ahora, creo que otra pregunta que debe plantearse en este contexto: mientras que un paracompact colector de siempre admite un positivo-definida de Riemann métrica, no hay tal teorema de pseudo-métricas de Riemann. La razón es que usted tiene que pegar timelike curvas de diferentes coordinar los gráficos de una manera sensata. ¿Cuáles son las condiciones para un colector para admitir a un pseudo-métrica de Riemann? He encontrado algo de información útil aquí, pero no tengo una respuesta completa.
