Entropía de bits en un tablero de ajedrez.

Question

Supongamos que tenemos una $n$ $n$ tablero de ajedrez y cada cuadrado puede estar en dos estados: "on" u "off". En el momento $t=0$ todos los bits están apagados. Cada segundo cuadrado es seleccionado al azar de manera uniforme fuera de la $n^2$ plazas y el bit correspondiente se volcó. Cómo definir la entropía de "en" bits en este proceso y mostrar que aumenta? Este salió de un modelo de un gas en un recipiente, donde se divide el contenedor utilizando una cuadrícula. Cada punto de la rejilla está en "on" o "off" si no hay una molécula de gas en el cuadrado correspondiente. Se debería aumentar, en promedio, a la derecha? Me parece que podría estar relacionado con la varianza de la "en" plazas, pero no soy experto en el campo, todas las sugerencias?

Gracias de antemano!

Answer 1

Una medida simple es solo el número de configuraciones de los bits de activación. Si los$n$ bits están activados, hay$64 \choose n$ de configuraciones en las que pueden estar, por lo que puede decir que la entropía es$\log {64 \choose n}$. Inicialmente,$n$ aumenta rápidamente porque la posibilidad de desactivar un bit de activación es pequeña. A medida que$n$ se acerca a$32$, se acercará a la entropía máxima. No parece haber nada en el problema que involucre el patrón particular de los bits, por lo que no haría nada más complicado.