Buscando una terminología para la "igualdad" de funciones

Question

Considere la situación que se describe en el diagrama siguiente, a saber:

• $A$, $A'$, $B$, e $B'$ son conjuntos.
• $\alpha:A\rightarrow A'$ e $\beta:B\rightarrow B'$ son bijections.
• $f:A\rightarrow B$ e $\ f':A'\rightarrow B'$.
• Las siguientes ecuaciones son satisfechos. $$ f = \beta^{-1} \circ f' \circ \alpha\\ f' = \beta\circ f \circ \alpha^{-1} $$

En un sentido $f$ e $f'$ son la misma función, en la que cada uno puede ser calculado en términos de la otra, ninguna información se pierde o se gana.

Hay una terminología aceptada por esta igualdad de $f$ e $f'$?

Answer 1

Se podría decir que $f$ e $f'$ son isomorfos, dado que las funciones $\alpha$ e $\beta$ define un isomorfismo de $f$ a $f'$ en la flecha de la categoría $\mathbf{Set}^{\to}$.

He aquí algunos detalles:

Dada una categoría $\mathcal{C}$, la flecha categoría $\mathcal{C}^{\to}$ tiene el morfismos de $\mathcal{C}$ como sus objetos y conmutativa plazas en $\mathcal{C}$ como morfismos.

Es decir, una de morfismos de $(f : A \to B)$ a $(f' : A' \to B')$ es un par $(\alpha,\beta)$ consta de un morfismos $\alpha : A \to A'$ y un morfismos $\beta : B \to B'$, de tal manera que $\beta \circ f = f' \circ \alpha$. Un isomorfismo en $\mathcal{C}^{\to}$ es simplemente un par de $(\alpha,\beta)$ de isomorphisms en $\mathcal{C}$.

Cuando $\mathcal{C} = \mathbf{Set}$, esto nos dice que un isomorfismo de una función de $f : A \to B$ a una función $f' : A' \to B'$ en $\mathbf{Set}^{\to}$ es un par de bijections $\alpha : A \to A'$ e $\beta : B \to B'$ tal que $\beta \circ f = f' \circ \alpha$-esto es exactamente su situación.