Grupos-subconjuntos de monoides con diferentes identidades.

Question

Un subgrupo debe tener la misma identidad que la contienen grupo, pero este hecho requiere la recíproca. Estoy interesado en subconjuntos de monoids, que son grupos en su propio derecho, sino que varían en gran medida de la naturaleza de la monoid sí mismo, es decir, tiene una identidad diferente, y los inversos son completamente diferentes (aunque conservamos la misma operación de curso).

Mi ejemplo favorito de esta es el conjunto de $2 \times 2$ matrices en la que cada entrada de la matriz es el mismo número real positivo. Este es un grupo, es isomorfo a $\mathbb{R}_{>0}$, y, sin embargo, la identidad convencional de la matriz no está aquí, y ninguna de estas matrices son convencionalmente invertible. (Aquí, si $M$ denota la matriz con $1$s en todas partes, a continuación, la matriz identidad es $\frac12M$, y el isomorfismo es $x\mapsto \frac{x}2M$.)

¿Cuáles son algunos otros ejemplos de esto?

Answer 1

Deje $G$ ser su favorito grupo. Considerar la monoid $M_G$ con $G\cup \{e\}$, donde $e$ es una carta nueva que actúa como $eg=g=ge$ para todos los $g\in G$ (y deje $G<M_G$ heredar el grupo de operación de $G$).

A continuación, podemos ver $G<M_G$ como un grupo, con un elemento de identidad a $e\in M_G$.

Por ejemplo, si usted comienza con $G$ el trivial grupo, a continuación, $M_G$ puede ser visto como $\{0, 1\}$ bajo la multiplicación heredado de $\mathbb{R}$ ( $0$ corresponde a la trivial grupo, y $1=e$ es el agregado de identidad).

Answer 2

Puede tomar una unión desunida de tantos grupos diferentes como desee, junto con un elemento extra $0$ , y hacer que todos los productos entre elementos de diferentes grupos sean iguales a $0$ .

Answer 3

Esta es un área de estudio, relacionadas con el Verde de la relación de $\mathcal H$. Deje $M$ ser un monoid. Definir la relación $\mathcal H$ a $M$por $$ un \mathrel{\mathcal H} b \iff aM = bM \text{ y }Ma = Mb $$ En otras palabras, $a$ e $b$ generar el mismo ideal de derecho y la misma izquierda ideal. Ahora, si $e$ es un idempotente, su $\mathcal H$clase a es un subgrupo de $M$ con identidad $e$ y es el mayor subgrupo de $M$ contiene $e$.

En su caso, la idempotente es la matriz $\pmatrix{1/2 &1/2\\1/2 &1/2}$.