Competencia que involucra$2^n$ jugadores

Question

Una competición se celebra entre el $2^n$ jugadores para algunos $n > 1$. Hay $n$ rondas y en cada ronda los jugadores supervivientes están emparejados al azar, y los ganadores pasarán a la siguiente ronda. Los jugadores de diferentes niveles de habilidad, y los mejores jugadores gana cada partido.

¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro mejores jugadores de llegar a la semi-final?

Preguntas similares existen en este sitio, pero las preguntas que me han llegado a través de están estructurados de forma ligeramente diferente a esta.

He encontrado que la probabilidad de ser:

$\prod_{k=0}^{n-3} \prod_{j=1}^{4} \left( \frac{2^{n-k} - \left(j+3\right)}{2^{n-k} - 1}\right)$,

pero en el caso de $n=3$ por ejemplo, el denominador permanece como a las 7, y me dije a mí mismo ¿no debería el denominador disminuyen en cada iteración?

Así que de los ocho jugadores, de los mejores 4 jugadores para llegar a la semi-final, el jugador 1 puede jugar jugadores 5, 6, 7, o 8 de los jugadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (la razón de que el jugador 1 no puede jugar los jugadores 2, 3, o 4 es porque los cuatro mejores jugadores de la necesidad de llegar a la semi final). Dicen que el jugador 1 juega jugador 5, entonces el jugador 2 puede jugar player 6, 7, o 8, de los jugadores 3, 4, 6, 7, 8 (así que 5 posibilidades, de 7 en el primer escenario, y esta es la razón por la que yo estaba confundido en cuanto a por qué el denominador permanece 7 y no a disminuir). A continuación, este continúa para los jugadores 3 y 4, donde los jugadores que posiblemente puede jugar disminuye cada vez. Entonces, ¿por qué es la probabilidad de los cuatro mejores jugadores de llegar a la semi final no 4/7 x 3/5 x 2/3 x 1?

Answer 1

Yo no creo que haya ninguna diferencia entre el problema y un problema similar, donde los jugadores son al azar arrojados en un árbol binario, el cual es utilizado para formar los emparejamientos de cada ronda. En ese problema:

Reproductor $1$ puede ir a cualquier lugar.

Una vez que sabemos donde Reproductor $1$ ha sido asignado, de la $2^n-1$ ranuras restantes, $3 \cdot 2^{n-2}$ de ellos son permisibles.

Si los Jugadores de $1$ e $2$ han recibido permitido asignaciones, luego de la $2^n-2$ ranuras restantes, $2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-2}$ de ellos son permisibles.

Por último, si los tres primeros jugadores han recibido permitido asignaciones, luego de la $2^n-3$ ranuras restantes, $2^{n-2}$ de ellos son permisibles.

Así que la probabilidad de que me sale es:

$$6 \frac{2^{3n-6}}{\prod_{k=1}^3 (2^n-k)}.$$

Que va a tener algunos de los números impares en el denominador.