¿Hay un homomorfismo inyectivo de$S_4$ a$GL(2,C)$

Question

Hay un inyectiva homomorphism de $S_4$ a $GL(2,C)$

Mi intento :
$(1)$ Si inyectiva homorphism existe , $S_4$ es isomorfo a un subgrupo $A$ de $GL(2,C)$ .
$(2)$ $A$ debe contener nueve elemento de orden $2$ ; ocho elemento de orden $3$ y seis elemento de orden $4$ .

Answer 1

Sugerencia: dado que $S_4$ tiene un subgrupo isomorfo normal para el grupo de Klein cuatro, después de un cambio de base, la imagen de $S_4$ está contenida en el normalizador del subgrupo $\left\{\tbinom{\pm1\ \ \hphantom{\pm}0}{\hphantom{\pm}0\ \ \pm1}\right\}\subset\operatorname{GL}(2,\Bbb{C})$ .