Deje $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ ser suave, limitado campo de vectores. Además, vamos a $u\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ satisfacer $$-\Delta u=\operatorname{div}(fu).$$ Si $u\in L^1(\mathbb{R}^n)$, $u$ tiene un signo, es decir, $u>0$ en todas partes, o $u<0$ en todas partes, o $u=0$ en todas partes.
Tengo una prueba directa de este para $n=1$. Para $n>1$, tengo una prueba de uso de la teoría de ecuaciones parabólicas (ver más abajo). Mi pregunta: ¿existe una prueba directa utilizando sólo la teoría de ecuaciones en derivadas parciales elípticas?
(Editado para asumir la $f$ delimitada y solucionar el caso de $n=1$ a continuación).
Para $n=1$, mi prueba es como sigue. La ecuación es $-u''=(fu)'$, el cual se integra a $u'+fu=A$ para algunas constantes $A$. Si $u$ cambia de signo, entonces podremos, sin pérdida de generalidad tome $u(0)=0$. Así $$u(x)=A\int_0^x e^{F(t)-F(x)}\,dt$$ where $F'=f$. If $|f|\le c$ then $F(t)-F(x)\ge c(t-x)$ for $t<x$, so $u(x)\ge Ca^{-1}(1-e^{-cx})$ when $x>0$, and hence $u\noen L^1$ (unless $A=0$).
Para $n>1$, mi única prueba de que está mucho más involucrado. He aquí una breve reseña. Asumir la conclusión de que está mal, así que podemos escribir $u=u_+-u_-$ $u_\pm\ge0$ todas partes y ni idéntica a cero, y $u_+u_-=0$ en todas partes.
Ahora vamos a $v_\pm$ resolver $$\frac{\partial v_\pm}{\partial t}=\Delta v_\pm+\operatorname{div}(fv_\pm)$$ for $t>0$, with initial conditions $v_\pm(0,x)=u_\pm(x)$. By uniqueness for this equation (with suitable growth conditions at infinity), $v_+(t,x)-v_-(t,x)=u(x)$ for $t>0$ and $x\in\mathbb{R}^n$. Also, for $t>0$ we find $v_\pm>0$ everywhere, and also $$\int_{\mathbb{R}^n} v_\pm(t,x)\,dx=\int_{\mathbb{R}^n} u_\pm(x)\,dx$$ since the equation is on divergence form. We conclude $$\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}(u_+(x)+u_-(x))\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}(v_+(t,x)+v_-(t,x))\,dx>\int_{\mathbb{R}^n}|v_+(t,x)-v_-(t,x)|\,dx,$$ lo cual es una contradicción.
