Cómo encontrar la raíz cuadrada funcional de$\sin(x)$.

Question

Tal vez estoy pasando por alto algo, pero ¿hay alguna manera fácil de encontrar una función $x\to f(x)$ para que

PS

en algún intervalo, digamos $$(f\circ f)(x) = f(f(x)) = \sin(x)$ de la línea real? (Analíticamente o de otra manera).

Answer 1

Sebapi la idea es buena, pero tiene errores de cálculo. Los coeficientes de $f$ puede ser calculada de forma recursiva con primaria finito cálculos. Empezamos con $$\sin x=x-{1\over3!}x^3+{1\over5!}x^5-{1\over7!} x^7+{1\over9!}x^9+{1\over11!}x^{11}\ldots\tag{1}$$y hacer el Ansatz $$f(x):=\sum_{k=1}^\infty a_k x^k\ .$$ Poner la posterior coeficientes de $f\bigl(f(x)\bigr)-\sin x$ a cero primero tenemos que solucionar $a_1^2=1$. Elijo $a_1=1$ (y deje $a_1=-1$ ). A continuación, se hace rápidamente evidente que todos los $a_{2j}=0$, por lo que parece razonable para reemplazar el anterior Ansatz por $$f(x):=\sum_{j=1}^\infty a_{2j-1} x^{2j-1}\ .$$ Hice los cálculos con Mathematica, y obtuvo $$f(x)=x-{1\over12}x^3-{1\over160}x^5-{53\over40\,320}x^7-{23\over71\,680}x^9-{92\,713\over1\,277\,337\,600}x^{11}+\ \ldots\ .\tag{2}$$ Computación $f\bigl(f(x)\bigr)$ a de la $x^{11}$ plazo el uso de $(2)$ da exactamente $(1)$. Los numeradores que aparecen en $(2)$ se enumeran en OEIS bajo A098932, donde se hace referencia al problema en cuestión.

Answer 2

Estaremos resolviendo la ecuación funcional de Abel, $$ \alpha( \sin z) = \alpha(z) + 1.$ $

Dado un $x$ específico con $x_1 = \sin x$ y $ x_{n+1} = \sin x_n$ , es un resultado de Jean Ecalle en Orsay que podemos tomar $$ \alpha(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \; \; \; \frac{3}{x_n^2} \; + \; \frac{6 \log x_n}{5} \; + \; \frac{79 x_n^2}{1050} \; + \; \frac{29 x_n^4}{2625} \; - \; n.$ $

En particular $$ f_{1/2} (x) = \alpha^{-1} \left( \frac{1}{2} + \alpha(x) \right) $ $

Answer 3

Como $f \circ f$ tiene una serie de desarrollo de cerca de 0, podemos tratar de encontrar una función con una propiedad similar. Por ejemplo, para la función de la raíz cuadrada de $exp(-x)$: $$ \exp(x) = x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots $$ e identificar el coeficiente de la serie de $f$: $$ f(x) = x - \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{48} x^3 + \ldots $$ Intuitivamente, este método constructivo identificaría $f$. Pero sería necesario retirar los coeficientes de la recursión para demostrar que la serie converge, y de ahí obtener existencia y unicidad.

EDITAR: como se ha señalado por Deepak en comentarios a continuación, utiliza la expansión de $\exp(-x)$ en lugar de $\sin(x)$. Cristiano Blatter anteriormente se utiliza la adecuada expansión.