Si$f : \mathbb{R}^{n} : \rightarrow \mathbb{R}$ es continuo, ¿está cerrado y acotado el conjunto$\{u \in \mathbb{R}^{n} \mid f(u) = 0\}$?

Question

Si $f : \mathbb{R}^{n} : \rightarrow \mathbb{R}$ es continua, es el set $\{u \in \mathbb{R}^{n} \mid f(u) = 0\}$ cerrado y acotado?

Creo que el conjunto es cerrado. Podemos escribir el conjunto de

$$\{u \in \mathbb{R}^{n} \mid f(u) \geq 0\} \cap \{u \in \mathbb{R}^{n} \mid f(u) \leq 0\}, $$

y no es un teorema en mi libro que estos dos conjuntos son cerrados siempre que $f$ es continua (y lo es). Por lo tanto, es la intersección de dos conjuntos cerrados, que está cerrado.

Yo también creo que el conjunto es acotado. Queremos demostrar que para todos los $x$ en nuestra serie, $||x|| \leq B$ para algunos enlazado $B$. No tengo idea de cómo mostrar esto, sin embargo; es por completo basa fuera de mi intuición. Traté de hacer algunas secuencias, y usando el hecho de que la secuencia de imágenes también deben converger a la imagen del punto límite (debido a la convergencia), pero no conseguí nada. Por favor alguien puede ayudarme?

Answer 1

El conjunto

$f^{-1}(u) = \{u \in \Bbb R^n \mid f(u) = 0 \} \tag 1$

es, como nuestro OP daheckimgood tiene debidamente demostrado, está siempre cerrado por las continuas $f$. No es, en general, limitada.

Contraejemplo: Tome $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ a ser no trivial lineal funcional. Entonces

$\exists 0 \ne v \in \ker f \subset \Bbb R^n; \tag 2$

entonces

$\forall r \in \Bbb R, \; f(rv) = rf(v) = 0; \tag 3$

sin embargo, el conjunto

$\{rv, \; r \in \Bbb R \} \subset f^{-1}(0) \tag 4$

es mos' def' no acotada.