¿Es toda teoría de campo clásica con acoplamientos adimensionales conformemente invariante?

Question

Estoy intentando aprender la teoría de campos conformes y me estoy frustrando bastante, porque no encuentro ninguna fuente que dé ejemplos decentes o una lógica directa.

En la mayoría de las fuentes que he encontrado, la invariancia conformacional de una teoría clásica se establece mostrando que la teoría es invariante de escala, y luego realizando algunas manipulaciones. Sin embargo, este razonamiento no puede ser ni remotamente correcto, ya que cada La teoría con sólo acoplamientos adimensionales es invariante de escala, siempre que demos a cada campo una dimensión de escala igual a su dimensión de masa habitual.

Por ejemplo, bajo este razonamiento, el Modelo Estándar sin un término de masa de Higgs es una teoría de campo conforme a nivel clásico, pero no es posible que lo sea, o de lo contrario ya habría oído hablar de ello. Del mismo modo, la masa sin $\phi^4$ teoría en $d = 4$ sería conformemente invariante bajo esta lógica, pero no lo es, ya que su tensor de tensión-energía no es sin traza. Otro ejemplo es un campo escalar libre en un fondo de espaciotiempo curvo, que requiere un término de acoplamiento no mínimo $- R \phi^2 / 12$ para lograr la invariancia conformacional.

¿Qué está pasando? ¿Son todas las fuentes de la CFT increíblemente descuidadas, y si es así, por qué lo son? ¿Hay alguna razón para que esta lógica difusa funcione realmente en la mayoría de los ejemplos que consideran, por ejemplo, la situación es diferente en $d = 2$ ¿ tal vez? ¿Y cuál es la forma real de demostrar que una teoría es clásicamente invariante conformacional?

Answer 1

La cuestión de si un clásico la teoría es conforme o no puede responderse mirando la traza del tensor energía-momento $T^{\mu\nu}$ . Si $$ T^\mu_\mu = \partial_\mu K^\mu $$ para algún operador $K^\mu$ entonces la teoría es invariante bajo transformaciones de escala. Además, si $$ T^\mu_\mu = \partial_\mu \partial_\nu L^{\mu\nu} $$ para algunos $L^{\mu\nu}$ entonces la teoría también es invariante bajo transformaciones conformes especiales. Esto se explica muy bien en un papel de Polchinski .

No todas las teorías de campo clásicas con acoplamiento adimensional son conformes. Un contraejemplo es La teoría de Maxwell en dimensión $d \neq 4$ (como se menciona en los comentarios). Otra sería la teoría de la elasticidad en 2 dimensiones . Pero el Modelo Estándar sin un término de masa de Higgs es definitivamente una teoría de campo conforme a nivel clásico . También lo es el sin masa $\phi^4$ teoría (véase más abajo para una explicación detallada).

La razón probable por la que nunca has oído que el Modelo Estándar sin un término de masa de Higgs es clásicamente conforme es que a nadie le importa. Al fin y al cabo es una teoría cuántica, y la invariancia conforme se rompe a nivel cuántico en esa teoría. Además, no es inmediatamente obvio lo que se gana al saber que una teoría clásica es conforme. (Por otro lado, si una teoría es conforme a nivel cuántico, entonces se gana mucho porque se pueden utilizar herramientas como la correspondencia estado/operador para construir el espacio de Hilbert de la teoría de forma explícita, pero esto va más allá del alcance de la pregunta).

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Invariancia conforme de la clásica sin masa $\phi^4$ teoría

Considere una teoría en $d$ dimensiones del espaciotiempo definidas por el Lagrangiano $$ \mathscr{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{\lambda}{4!} \phi^4 $$ La ecuación del movimiento es $$ \square \phi + \frac{\lambda}{3!} \phi^3 = 0 $$ y el tensor de energía-momento canónico $$ T_c^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathscr{L} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi + \frac{\lambda}{4!} \eta^{\mu\nu} \phi^4 $$ La traza de este tensor es distinta de cero (incluso cuando $\lambda = 0$ en $d \neq 2$ ), pero esto no significa que la teoría no sea invariante bajo transformaciones conformes. Una teoría es conforme si su tensor de energía-momento puede ser "mejorado" con un término de la forma $\partial^\mu \partial^\nu L - \eta^{\mu\nu} \square L$ en un tensor sin trazos. En nuestro caso podemos tomar $$ T^{\mu\nu} = T_c^{\mu\nu} - \frac{d-2}{4(d-1)} (\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \square) \phi^2 $$ que da $$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{2(d-1)} \left[ d \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi - (d-2) \phi \partial^\mu \partial^\nu \phi + (d-2) \eta^{\mu\nu} \phi \square \phi \right] + \frac{\lambda}{4!} \eta^{\mu\nu} \phi^4 $$ La traza de este tensor es $$ T^\mu_\mu = \frac{d-2}{2} \phi \square \phi + \frac{d \lambda}{4!} \phi^4 $$ y se ve que desaparece por la ecuación del movimiento exactamente cuando $d = 4$ (es decir, cuando $\lambda$ es adimensional).