¿Por qué este polinomio es irreductible en la mayoría de los exponentes principales?

Question

Estoy tratando de determinar cuándo este polinomio es reducible e irreductible en $\Bbb Q$ :

PS

Revisé hasta $$x^n+(1-x)^n.$ Este polinomio es irreducible para:

PS

Inmediatamente me di cuenta de que todos los valores son primos, excepto $n=100.$

¿Cuál es la razón para esto?

Answer 1

Si $m$ es impar, podemos factor de $a^m+b^m$ sobre $\mathbb{Q}$ como $$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+\dots+b^{m-1})$$ (good exercise: figure out why this works when $m$ is odd but not when $m$ is even). In particular, if $m$ is an odd factor of $n$ with $n=md$, then we have $$x^n+(1-x)^n=(x^d)^m+((1-x)^d)^m=(x^d+(1-x)^d)((x^d)^{m-1}-\dots+((1-x)^d)^{m-1}).$$ As long as $d>1$ and $m>1$, this gives a nontrivial factorization of $x^n+(1-x)^n$ over $\mathbb{Q}$ (we need $d>1$ and $m>1$ to be sure neither factor is a constant; the first factor is nonconstant as long as $d>1$ and the second factor is nonconstant as long as $m>1$ since you can calculate that its leading term is an odd multiple of $x^{d(m-1)}$).

Esto significa que si $n$ tiene cualquier extraño adecuada factor mayor que $1$, a continuación, $x^n+(1-x)^n$ es reducible a más de $\mathbb{Q}$. Los enteros positivos con ningún extraño adecuado de los factores de mayor que $1$ son los números primos y los poderes de $2$.

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Por otro lado, el polinomio $f(x)=x^n+(1-x)^n$ es siempre irreductible más de $\mathbb{Q}$ cuando $n$ es primo o una potencia de $2$ mayor que $1$. Para probar esto, deje $g$ ser el polinomio del mismo grado como $f$ pero con el orden de sus coeficientes invertido. Basta para mostrar $g$ es irreducible, ya que cualquier factorización de $f$ daría una factorización de $f$ mediante la inversión de los coeficientes de los factores.

Pero $g$ satisface el criterio de Eisenstein y por lo tanto es irreductible. De hecho, si $n$ es una extraña prime la $x^n$ términos en $f$ cancelar y así $$g(x)=x^{n-1}-\binom{n}{1}x^{n-2}+\dots+\binom{n}{n-1}$$ satisfies Eisenstein's criterion for the prime $n$ (all the binomial coefficients are divisible by $n$ and the last one $\binom{n}{n-1}=n$ is not divisible by $n^2$).

Si $n$ es una potencia de $2$ mayor que $1$, en cambio tenemos $$g(x)=x^n-\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots-\binom{n}{n-1}x+2.$$ This satisfies Eisenstein's criterion for the prime $2$, since $n$ is a power of $2$ de modo que todos estos coeficientes binomiales son incluso.