Grupo abeliano finito tensorial producto.

Question

¿Es obvia la siguiente pregunta?

Deje que $G$ sea un grupo abeliano, de manera que para cualquier grupo abeliano finito $A$ , tenemos $G\otimes_{\mathbf{Z}}A=0$ , significa que $G$ es un $\mathbf{Q}$ -vector espacio ?

Answer 1

Ha $G\otimes(\Bbb Z/n\Bbb Z)=0$ para todos los $n\in \Bbb N$. Eso significa que $G/nG=0$, lo $G=nG$, es decir todos los elementos de a$G$ son divisibles por $n$. A continuación, $G$ es divisible Abelian grupo. Por el contrario si $G$ es divisible Abelian grupo, entonces $G\otimes(\Bbb Z/n\Bbb Z)=0$ e lo $G\otimes A=0$ para todos los finitely generado Abelian grupos.

Pero no todos los divisible Abelian grupos se $\Bbb Q$-módulos: ellos pueden tener de torsión. Como ejemplo, vamos a $G=\Bbb Q/\Bbb Z$.