Asintóticos para integrales de rápida oscilación sin punto estacionario de la fase.

Question

Me gustaría establecer el comportamiento asintótico de la siguiente integral: $$ I(r) = \int_0^\infty dq \frac{q}{\sqrt{m^2 + q^2}} e^{-\sigma q^2 /2} \sin (q r) $$ para $r \to + \infty$, $m\geq 0$ e $\sigma >0$ real de los parámetros. Sé que $\lim_{r \to \infty} I(r) =0$, pero me gustaría saber cómo se va allí. Por ejemplo, en la $m=0$ caso de que la integral se puede realizar exactamente (es la suma de dos integrales de Gauss con coeficientes complejos), y el resultado es: $$ I(r) \xrightarrow[m\0]{} \sqrt{\frac{\pi }{2 \sigma }} \text{erfi}\left(\frac{r}{\sqrt{2\sigma }}\right) e^{-\frac{r^2}{2 \sigma }} = \frac 1 r + \mathcal{S}\left( e^{-\frac{r^2}{2 \sigma }} \right) . $$ No estoy seguro de cómo ir sobre el $m>0$ caso. La función seno, obviamente, puede ser escrita como una suma de dos exponenciales complejas, y si quiero puedo volver a empaquetar todo en un solo integral de $q = -\infty$ a $q= + \infty$ con una exponencial simple: $$ I(r) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty dq \frac{q}{\sqrt{m^2 + q^2}} e^{-\sigma q^2 /2} e^{ci r} , $$ pero no los puedo usar en la fase estacionaria aproximación como es, porque la función de $q$ en el exponente no tiene puntos estacionarios. Puedo transformar, por ejemplo, $q = x^3$ y, a continuación, $x=0$ es de un punto fijo, y yo puedo ampliar la raíz cuadrada en la serie de Maclaurin $\frac{1}{\sqrt{m^2+x^6}}\sim \frac{1}{m}-\frac{x^6}{2 m^3} + \dots$, y puedo integrar por separado de cada término, pero lo que me pasa es que cada uno de los resultados a largo plazo en un $e^{-\frac{r^2}{2 \sigma }}$ factor multiplicado por el aumento de los poderes de $r$, lo que significa que la expansión no me da la dominante en el comportamiento de $I(r)$.

El pensamiento sobre el problema en el plano complejo, veo que la oscilación de piezas de $e^{\pm i q r}$ tienen sus más brusco descenso de las direcciones en el eje imaginario de $q$, pero el integrando $ \frac{q}{\sqrt{m^2 + q^2}} e^{-\sigma q^2 /2} $ converge a cero, como se $|q| \to \infty$ sólo en la forma de mariposa de la región de $|Im(q)|<|Re(q)|$, que no incluye el eje imaginario. Por otra parte la raíz cuadrada en el denominador da dos polos en $q =\pm im$, de los cuales dos cortes de ramas tiene que salir e ir hasta el infinito. No veo una deformación de la ruta de acceso de la real positiva del eje que me permite ir a lo largo de la empinada-ruta de descenso y explotar el hecho de que $r$ es grande.

Esto es lo más lejos que me puse en el análisis de este problema, alguna sugerencia sobre la mejor manera de ir sobre esto?

Gracias a todos y saludos cordiales.

Answer 1

Suponga que $m > 0$ e $\sigma > 0$ son constantes. El punto crítico de la $-\sigma^2 q^2/2 + i r q$ es $q_0 = i r/\sigma$. Si el no-exponencial parte no se dispone de una rama cortada, la mayor descenso de contorno iba a través de la $q_0$ paralelo al eje real. Pero el contorno de $I(r)$ tiene que ser aumentada con los segmentos de $q_0$ a la rama punto de $q_b = i m$ a ambos lados de la rama de corte. La principal contribución a la integral proviene de un pequeño barrio de $q_b$ y puede ser estimado mediante la aplicación de Laplace del método.

Tomando $q = q_b + i \xi$ y la expansión de la exponencial y no exponencial partes de el integrando alrededor de $\xi = 0$, obtenemos $$I(r) = \frac 1 2 \,\operatorname{Im} \int_{-\infty}^\infty \frac q {\sqrt {p^2 + m^2}} e^{-\sigma q^2/2 + i r q} dq \sim e^{m (m \sigma/2 - r)} \int_0^\infty \sqrt {\frac m {2 \xi}} \,e^{(m \sigma - r) \xi} d\xi \sim \\ e^{m (m \sigma/2 - r)} \sqrt {\frac {\pi m} {2 r}}, \quad r \to \infty.$$