Hay un dominio de "mayores" (es decir, un supserset de) el número complejo dominio?

Question

He estado enseñando a mis 10yo hijo algunos (para mí, de todos modos) bastante matemáticas avanzadas recientemente y se metió a mí con una pregunta. El fondo es este.

En el dominio de los números naturales, la adición y la multiplicación siempre generar números naturales, permaneciendo en el mismo dominio.

Sin embargo, la sustracción de un gran número de pequeñas necesidades de "escapar" en el dominio de los enteros, y la división puede resultar en el escape al dominio real (como 3 / 5 -> 0.6).

Fue un simple paso de ahí a tomar la raíz cuadrada de un número negativo, lo que exige la evasión en el complejo dominio, como por ejemplo 4+7i.

Él muy fácilmente recogido que cada uno de estos dominios era un superconjunto de otro, natural -> integer -> real -> complex.

Sin embargo, luego le preguntó si una operación en un número complejo requeriría otra de escape, una pregunta que me tenía que investigar. Ahora, resulta que la raíz cuadrada de un número complejo es simplemente otro número complejo a lo largo de las líneas de matemática de la distribución: (a+bi), de la memoria.

Pero me pregunto si hay otras operaciones matemáticas que se realizan en los números complejos (o cualquiera de sus subconjunto de los dominios) que no puede ser representado dentro del complejo de dominio.

Disculpas si he usado los términos erróneos, que ha sido cerca de 30 años desde que hizo la Universidad de matemáticas de nivel.

Answer 1

Primero que todo, felicitaciones por la introducción de estas ideas a sus 10 años! Esa es una excelente manera de conseguir que se interesen por las matemáticas a una edad temprana.

En cuanto a tu pregunta: La respuesta corta es no. Cualquier operación algebraica que se puede hacer de la clase que usted describe producirá un número complejo. Esto es debido al hecho de que son algebraicamente cerrado. Lo que esto significa es lo siguiente.

Una manera en que usted puede demostrar que usted puede encontrar un mayor dominio de los números reales es mirando el polinomio $$ f(x) = x^2 + 1 $$ Usted puede ver fácilmente que no hay soluciones a la ecuación de $f(x) = 0$ en los números reales (como la ecuación $x + 1 = 0$ no tiene soluciones en los enteros positivos). Así que debemos escapar a un mayor dominio de los números complejos, con el fin de encontrar soluciones a esta ecuación.

Un dominio (para usar su término) ser algebraicamente cerrado significa que cada polinomio con coeficientes en el dominio que tiene soluciones en ese dominio. Los números complejos son algebraicamente cerrado, así que no importa qué polinomio de tipo de expresión que se escribe, se tendrá como solución un número complejo.

Ahora, esto no quiere decir que no hay grandes dominios de $\mathbb{C}$! Un ejemplo es el de los Cuaterniones. Donde los números complejos puede ser visualizado como un plano (es decir, $a + bi \leftrightarrow (a, b)$), los cuaterniones puede ser visualizado como una de cuatro dimensiones del espacio. Estos se dan por cosas que parecen $$ a + bi + cj + dk $$ donde $i, j, k$ todas satisfacer $i^2 = j^2 = k^2 = -1$, y además $ij = -ji = k$. El hecho interesante acerca de los cuaterniones es que son no-conmutativa. Es decir, el orden en que se multiplican los asuntos!

También hay Octonions, que son incluso más raro, y son una de las 8 dimensiones de la analógica.

De todos modos, la respuesta está en el final que es una especie de que depende. En la mayoría de los sentidos, el de los números complejos son tan lejos como puede ir en un relativamente de manera natural. Pero todavía podemos mirar más grande de los dominios, si queremos, pero tenemos que encontrar otras maneras de construir.

Answer 2

Hay razones para escapar incluso desde el número complejo sistema, pero quizás no tan agradable y fructífera motivos como en el desarrollo de $\mathbb N$ a $\mathbb C$.

Yo recon cualquier ecuación o sistema de ecuaciones en $\mathbb C$ sin soluciones, una solución para algunos de extensión de $\mathbb C$.

$z=z+1$ tendrá una solución en $\mathbb C^*=\mathbb C \cup \{\infty\}$, con algunas de las nuevas leyes de la aritmética.

Mientras

$ \left\{ \begin{array}{l} x^2=-1 \\ y^2=-1 \\ z^2=-1 \\ xy=z \end{array} \right. $

se han soluciones en los Cuaterniones.

Pero estos dos casos de extensiones de las demandas de los cambios significativos de las reglas. En el primer caso, por ejemplo, la anulación de la ley tiene que ser modificado y en el segundo caso conmutatividad se pierde.

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Creo que casi ningún sistema de relaciones de este tipo, en donde todos los paréntesis se indican, que no tiene soluciones en $\mathbb C$ (que es, lleva a la contradicción en $\mathbb C$), puede generar un "escape" en asociativa algebraica de extensión de $\mathbb C$.

Más para leer en la Wikipedia: Hypercomplex números

Answer 3

No puedo pensar en hyperreal números y surrealista de los números.

La idea es agregar infinitamente grandes e infinitamente pequeños números a los reales. Si usted ha visto el debate de si $0.999...$ y $1$ son los mismos, se puede entender que es un concepto natural de introducir. :-)

Hyperreal números fueron utilizados en la elaboración de cálculo, pero fueron abandonados en favor del concepto de límites. Surrealista números son un "más grande" set que tiene aplicaciones en la teoría de juegos. Un superconjunto de los números complejos sería el surcomplex números.

Answer 4

Hay un montón de "más grande" de los dominios. Quiero señalar algo aquí:

Una vez que llegues al nivel de los números complejos, se convierte en claro qué número es. Usted no puede poner los números complejos en cualquier orden que preserva el complejo de las propiedades algebraicas. Y realmente no se puede utilizar para contar cosas. De una manera divertida, los números complejos son representaciones de las rotaciones y cambios de escala. Eso es sin duda un curioso tipo de número.

Así que, con eso en mente, es posible que desee comenzar a hablar acerca de álgebra lineal. Vectores y matrices son generalizadas números que representan transformaciones lineales, como la rotación, escalado, simétrica "flipping".

Answer 5

Buena pregunta!

Me gustan muchas de las respuestas hasta el momento. Estoy un poco sorprendido por una idea de que falta. Las extensiones que usted y su hijo están explorando realmente no llegar a los números reales.

A partir de los números naturales, la resta le dice a inventar (descubrir?) los números negativos. La división llega a los números racionales. Si usted quiere encontrar raíces cuadradas (o, más en general, resolver ecuaciones polinómicas cuyos coeficientes son los números a los que ya tiene) se llega a los números algebraicos, algunos de los cuales son complejos. Pero ninguna de esas extensiones llevará a la trascendental números, como $\pi$. Aquellos que surgen cuando se intenta dar sentido a la afirmación de que cada punto de una forma geométrica de la línea debe tener un número de coordenadas (una vez que hayas elegido puntos por 0 y 1).