¿Existe una noción de una transversal de subobjetos?

Question

Si $a$ es un objeto en una categoría $C$, luego un subobjeto de $a$ es un isomorfismo de la clase de monomorphisms con codominio $a$. Los subobjetos de todos los objetos en $C$ particiones de la clase de monomorphisms en $C$ en un montón de subclases. Mi pregunta es, hay una noción de una transversal, es decir, una función que selecciona un representante de cada una de las subclases?

En el caso de un hormigón categoría, donde tiene un olvidadizo functor $U:C\rightarrow Set$, es evidente que existe una elección de representante de un determinado subobjeto de un objeto $a$: el único monomorphism $f$ en el subobjeto tal que $U(f)$ es una inclusión mapa de algún subconjunto de $U(a)$ a $U(a)$. Pero, ¿es posible definir una transversal, incluso para los no-categorías concretas, de tal manera que los representantes son "compatibles" con el uno al otro?

Hay ya un nombre para esta estructura?

Answer 1

La respuesta, como tantas preguntas que comienzan "en cualquier categoría, puedo elegir...", es que se necesita una muy buena forma de que el axioma de elección para hacer que las cosas funcionen.

En primer lugar, tenga en cuenta que no todas las categorías está bien alimentado. Es decir, no hay ninguna razón por la que debemos ser capaces de índice de la colección de subobjetos de objetos de una determinada categoría con cualquier conjunto, así que si eres pedante sobre el deseo de una función que hace que la indexación, podría tener problemas.

Incluso si usted insistir en que su categoría de ser bien alimentado (o incluso los pequeños), es fácil mostrar que necesitamos al menos el axioma de elección. Dada la cardinalidad de a$\kappa$, considerar la categoría de conjuntos de cardinalidad menor que $\kappa$, con exactamente uno de morfismos entre cualquier par de conjuntos isomorfos, y morfismos de cada conjunto a $1$. A continuación, todos los morfismos a la terminal de objeto son monos, ya que no hay no-trivial paralelo pares, y así una indexación de los subobjetos es una opción de conjunto de cada uno de cardinalidad menor que $\kappa$.

Continuando en esta línea, se puede mostrar que "cada categoría tiene una transversal" es equivalente a la afirmación "cada categoría tiene un esqueleto". Dada una categoría $C$, se puede considerar que la categoría de $D$ cuyos objetos son objetos de $C$, con exactamente uno de morfismos entre cualquier par de isomorfo objetos. Libremente adhieren a este programa de instalación de una terminal de objeto. A continuación, una transversal para $D$ proporciona un esqueleto $C$. Por el contrario, dado $D$, se puede considerar que la categoría de $\mathrm{mono}(D)$ cuyos objetos son monos en $D$ y cuyos morfismos son los que terminan triángulos de monos con la misma codominio; el isomorfismo de las clases en esta categoría son, por supuesto, los subobjetos de $D$, por lo que un esqueleto de $\mathrm{mono}(D)$ da una transversal de $D$. Usted puede ser consciente de que "cada categoría tiene un esqueleto" es equivalente al axioma de elección para la correcta clases; de nuevo, si nos limitamos a bien alimentado categorías, a continuación, por encima de la construcción no tienen agua, pero se espera debe de arrojar luz sobre su pregunta.

Answer 2

En un Cartesiana cerrada categoría $\mathcal C$ con un subobjeto clasificador $\Omega$, usted tiene, para cualquier objeto $A$ de $\mathcal C$ tiene una exponencial $\Omega^A,$ cual es el objeto de $\mathcal C$ que representan los subobjetos de $A.$

Entonces cualquier mapa de $1\to \Omega^A$

• corresponde a una distinta mapa de $A\times 1\to\Omega$ por la definición Cartesiana cerrada,
• que correspponds a distintas mapa de $A\to\Omega,$
• y esto corresponde a una clase distinta de monomorphism a $A,$ por la propiedad de $\Omega$ ser un subobjeto clasificador.

Estas condiciones se llevan a cabo por todos los topoi. Esto incluye el conjunto de teorías sin elección y el conjunto de teorías con intuitionist lógica (es decir, sin excluir el punto medio.)