Último dígito de grandes potencias.

Question

Definir las secuencias de $a_1, a_2,...$ e $b_1, b_2,...$ por $a_1=b_1=7$ e donde se $a_{n+1} = a_n^7$ e $b_{n+1} = 7^{b_n}$ para $n \geq 1$.

1) Encontrar el último dígito de la $a_{2009}$ e $b_{2009}$

2) ¿y los dos últimos dígitos o más?

Ahora, entiendo que el último dígito de poderes, de 7 de repetir cada 4 poderes (creo), así que la respuesta tiene algo que ver con los enteros modulo 4. Mientras yo estaba trabajando en esto, me encontré con que $a_n$ puede ser escrito como $a_n = 7^{(7^{n-1})}$, no estoy seguro si esto es correcto o si es de ayuda.

Si alguien puede ayudar a resolver esta pregunta o que me guíe en la dirección correcta, yo estaría agradecido.

Answer 1

El orden de $7$ mod $100$ es $4$, es decir, $7^4 = 2401 \equiv 1 \mod 100$, lo $7^{4i+j} \equiv 7^j (\bmod 100)$ para cualquier enteros $i$ e $j$. Desde $4$ divide $100$, esto también es cierto mod $4$.

Ahora $a_n = 7^{7^{n-1}}$, e $2008$ es divisible por $4$ lo $7^{2008} \equiv 7^0 = 1 (\bmod 4)$, e $a_{2009} \equiv 7^{1} = 7 (\bmod 100)$.

Como para $b_{2009}$, tenemos $b_1 = 7 \equiv 3 (\bmod 4)$, y desde $3^3 = 27 \equiv 3 (\bmod 4)$ obtenemos $b_n \equiv 3 (\bmod 4)$ para todos los $n \ge 1$, y así, por $n \ge 2$, $b_n \equiv 7^{b_{n-1}} \equiv 7^3 \equiv 43 (\bmod 100)$.

Answer 2

Tienes razón, los poderes de la $7$ tienen el último dígito $7-9-3-1.$El último dígito de la $7^7=a_2$ es $3.$

Por los poderes de la $3$ es el último dígito $3-9-7-1.$ por Lo que el último dígito de la $a_3$ es $7.$

Se puede terminar por $a_{2009}?$