Una prueba alternativa de una aplicación de Hahn-Banach

Question

Como corolario del teorema de Hahn-Banach, demostramos que si $M$ es un subespacio cerrado de un espacio lineal normado $X$, $0\neq x_0\notin M$, entonces $\exists f \in X^*$ tal que $f(x_0)\neq 0$ y $f(y)=0$ $\forall y\in M$.

Esto me pareció excesivo y traté de dar una prueba alternativa. Puede que esté equivocado: así que podemos extender $x_0$ a una base de Hamel de $X$, luego definir $f(x_0)=1,$ cero en los otros elementos de la base y extender linealmente, esto básicamente nos da $f(\alpha x_0)=\alpha$ en $\text{span}\{x_0\}$ y cero en otros lugares. Esto debería proporcionarnos un funcional lineal acotado en $X$. ¿Es esto correcto? Por favor, señale si estoy equivocado.

Answer 1

El problema con tu demostración es que los funcionales lineales definidos al especificar su valor en una base de Hamel no tienen por qué estar acotados en general.

Por ejemplo, en este caso, si extiendes $\{x_0\}$ a una base de Hamel $\{x_0\} \cup \{x_i: i \in \Lambda\}$, entonces podría existir combinaciones lineales del tipo $x_0 + \sum_{i \in I} \lambda_i x_i$ con una norma muy pequeña (donde $I \subseteq \Lambda$ es finito). Este es un problema, ya que $f(x_0 + \sum_{i \in I} \lambda_i x_i) = f(x_0) = 1$ y por lo tanto $\|f\| \geq \|x_0 + \sum_{i \in I} \lambda_i x_i\|^{-1}$, lo cual aumenta mucho cuando $\|x_0 + \sum_{i \in I} \lambda_i x_i\|$ disminuye.

Answer 2

Creo que te encontrarás con un problema con $f$ siendo continua. En caso de que tengas una secuencia de combinaciones lineales de la base de Hamel que no tengan a $x_0$ como sumando pero converjan a $x_0$, entonces el límite de los valores de $f$ de esas combinaciones lineales será cero y no uno.

Addendum: Como ejemplo de una funcional construida usando una Base de Hamel para su definición y que no es continua, consideremos un espacio de Banach de dimensión infinita $X$ que tiene una Base de Hamel $\mathbb{H}$. Consideremos la familia de proyecciones $\pi_h:X\to\mathbb{R}$ donde $h\in \mathbb{H}$. Para $h_0$ fijo, estas están definidas para cualquier $x$ que será representado como una suma finita única $x=\sum_{h\in\mathbb{H}}\alpha_hh$ con los $\alpha_h\in\mathbb{R}$ apropiados como $\pi_{h_0}(x)= \alpha_{h_0}$. Entonces, al menos una $\pi_{h}$ no será continua.

Puedes ver eso tomando un subconjunto contable de $\mathbb{H}$, digamos $h_0, h_1,... $ y considerando $$x=\sum_{k=0}^\infty \frac{h_k}{2^k||h_k||}$$ Por construcción, $x$ no es una combinación lineal finita de $\{h_k\}$. Entonces, para todo $k\in\mathbb{N}$ tenemos $\pi_{h_k}(x)=0$. Por otro lado, si todas las $\pi_{h_k}$ fueran continuas, entonces tendríamos para todo $k\in\mathbb{N}$: $\pi_{h_k}(x)=\frac{1}{2^k||h_k||} >0$, lo cual es una contradicción. Así que al menos una proyección será discontinua.

Answer 3

Rhys y Maksim han dado respuestas excelentes relacionadas con el problema de continuidad presentado por tu construcción, pero creo que debería señalarse que, incluso si tu construcción funcionara, de hecho no sería menos "sobrecargada" que el uso de Hahn-Banach. En el contexto de los fundamentos, tu método es aún más "sobrecargado". La afirmación de que todo espacio vectorial tiene una base de Hamel es de hecho equivalente al axioma de elección sobre $\mathbf{ZF}$, mientras que Hahn-Banach se puede demostrar en $\mathbf{ZF}$ + el teorema del ultrafiltro, que es un axioma estrictamente más débil que la elección.