¿De cuántas maneras podemos definir el número primo?

Question

Así que el otro día estaba en una entrevista para un programa de Doctorado, uno de los profesores me ha pedido dar la definición de un número primo. Así que le dio la siguiente definición habitual-

Cualquier número positivo $p>1$ es llamado un número primo si los únicos divisores de $p$ se $1$ e $p$ sí.

Entonces él me preguntó lo que son las otras definiciones de un número primo? A la que yo no tenía ninguna respuesta, ya que no sé cualquier otra definición. Entonces él dijo lo siguiente-

Un número natural $n > 1$ es un número primo si y sólo si $(n-1)!=-1 (\text{mod} ~n).$

Que es, básicamente, la declaración de Wilson del teorema.

Mi pregunta es, ¿se puede utilizar este tipo de resultados//teoremas como las definiciones de los números primos?

Si yo digo, "para cualquier número natural $n>1$si $\phi(n)=n-1,$ entonces $n$ es un número primo, donde $\phi$ es de Euler Totient función." también califica para ser una definición de número primo?

Si es así ¿cuáles son las otras definiciones de los números primos?

Gracias por la valiosa aportación.

Edit: Lo de los comentarios que he recibido varios ejemplos, gracias por que, se me ocurrió la idea. Así que ahora quiero una respuesta a la pregunta, ¿se puede utilizar este tipo de resultados//teoremas como las definiciones de los números primos?

Answer 1

Como Wilson del teorema (un entero positivo es un primo si y sólo si ....) cualquier declaración equivalente es útil cuando queremos mostrar un número es primo. Si encontramos un número en una situación donde la congruencia de las condiciones de sus factorial está disponible, entonces es bueno para el uso que de la prueba de primalidad.

Lógicamente ninguno de los "si-y-sólo-si teoremas" puede ser tomado como una definición.

Pero los seres humanos que descubrir teoremas no son lógicas las máquinas. Mientras que el aprendizaje de un tema, es una formulación que utiliza menos conceptos preliminares es muy útil; por Lo que el teorema de "$n$ es un primer fib $Z/nZ$ es un campo", no es adecuado como una definición.

Aceptado el uso de libros de texto que la formulación de la definición que hace que sea fácil de digerir y entender el tema, incluso si el sujeto no evolucionar de esa manera históricamente!

Answer 2

Tome las declaraciones de cualquiera de las pruebas de pirmalidad determinista. Cada uno de sus conversos da una nueva definición de números primos.

Answer 3

Voy a elaborar sobre el comentario de que un número $p$ es primo si $p \mid ab$ significa que, o $p \mid a$ o $p \mid b$.

Considerar, por ejemplo, $p = 14$. Eso no es primo, pero me lo permiten por un minuto. Compruebe que $14 \mid 112$ e $112 = 7 \times 16$. Sin embargo, $14 \nmid 7$ e $14 \nmid 16$ . Por lo tanto, $14$ no es primo. Sin embargo, $2$ e $7$ es de los primeros, ya que para cualquier elección de $a$ e $b$ tal que $ab = 112$, verás que bien $a$ o $b$, tal vez ambos, son divisibles por $2$ y/o $7$.

La definición que dio es equivalente a decir si $ab = p$, entonces cualquiera de las $a$ o $b$ es una unidad (como $-1$). Y esa definición está bien hasta salir a los dominios de otros números de $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, son los números de $3 \pm 2 \sqrt{10}$ prime? Sí, lo son. Cómo acerca de $\sqrt{10}$? Satisface las $ab = p$ definición, pero no la $p \mid ab$ definición.