¿Qué funciones se pueden representar como una serie de autofunciones?

Question

Considera la ecuación diferencial:

$y'' = \lambda y$

con las condiciones de borde $y(0) = y(2\pi) = 0$.

Esta ecuación tiene autofunciones $\mu_n(x) = \sin(\frac{nx}{2})$ con los correspondientes autovalores $\lambda_n = -\frac{n^2}{4}$ para $n > 0$

• ¿Estoy en lo cierto de que ciertas funciones f(x) que satisfacen las mismas condiciones de borde mencionadas anteriormente pueden representarse como una serie infinita $f(x) = \sum_1^\infty c_n \mu_n(x)$ con coeficientes $c_n = \frac{\langle f,\mu_n \rangle}{\langle \mu_n, \mu_n \rangle}$? ¿Qué condiciones necesitan satisfacer esas ciertas funciones?

• ¿Se puede generalizar la afirmación anterior para cualquier conjunto de autofunciones de alguna ecuación diferencial? Por ejemplo, supongamos que $Ly = \lambda y$ es una ecuación diferencial ($L$ siendo el operador diferencial de segundo orden) con condiciones de borde $y(a) = y(b) = c$. ¿Qué funciones pueden representarse como una suma ponderada de las eigensoluciones?

Answer 1

Su pregunta se sitúa dentro del ámbito de la teoría de Sturm-Liouville y mi respuesta posterior se aplica a todos los operadores diferenciales (con funciones propias asociadas) que pertenecen a este ámbito. ¿Preguntaste cuáles funciones continuas pueden expandirse en una serie de funciones propias? La respuesta más natural resulta ser "funciones que son cuadrado-integrables en el intervalo $(0,2\pi)$". También funciones no continuas, cuadrado-integrables $f$ pueden expandirse de esta manera (bajo la condición de que $f$ puede diferir de su expansión en serie $\sum_{1}^{\infty} \frac{\langle \mu_n,f\rangle}{\langle \mu_n,\mu_n\rangle} \mu_n(x)$ en un subconjunto de $(0,2\pi)$ de medida cero)

Answer 2

Considera el siguiente problema en el intervalo $[a,b]$ para algunos $a < b$ y ángulos reales $\alpha,\beta$: $$ y''=\lambda y,\;\;\; a \le x \le b, \\ \cos\alpha y(a)+\sin\alpha y'(a) = 0 \\ \cos\beta y(b)+\sin\beta y'(b) = 0 $$ Esto da lugar a un conjunto discreto de autovalores $$ \lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots, $$

y autofunciones asociadas $\phi_n(x)$. Para cualquier función $f\in L^2[a,b]$, la serie de Fourier para $f$ en estas autofunciones converge a $f$ en $L^2[a,b]$. Y obtienes convergencia puntual de la serie en $x\in(a,b)$ bajo el mismo tipo de condiciones de Fourier que aprendiste para la serie de Fourier ordinaria. Las condiciones en los extremos hacen que la convergencia en $x=a,b$ sea más complicada, por supuesto. Condiciones del tipo $y(a)=0=y(b)$, por ejemplo, obligan a que cualquier serie en estas autofunciones converja a $0$ en los extremos.

Answer 3

Puedes expandir todas las funciones continuas, e incluso las no continuas (pero deben ser cuadrado-integrables); sin embargo, la serie solo convergerá en el sentido de $L^2(0, 1)$. Esto significa que, definiendo $$ Sf_n:=\sum_{k=1}^n c_n \mu_n, $$ se cumple que $$ \int_0^1 |Sf_n(x)-f(x)|^2\, dx\to 0\qquad \text{al }n\to \infty.$$

Si quieres convergencia puntual, necesitarás algunas suposiciones de regularidad sobre $f$. Este es un problema clásico en análisis de Fourier.