¿Es cierto que si la inclusión de un componente límite es una equivalencia de homotopía, entonces la deformación múltiple se retrae sobre ella?

Question

En espacios topológicos, si $A\subset X$ y la inclusión es un homotopy equivalencia, eso no implica que el $X$ deformación se retrae en $A$. Tomar, por ejemplo, uno de esos ejemplos de un contráctiles espacio que no deformación retroceder a un punto.

Incluso en los colectores, una cerrada colector de no deformación retraer a cualquier subconjunto, uno puede mostrar que con homología como se ha hecho aquí por Olivier Bégassat.

Así que mi pregunta es: en el caso de un colector con límite de $(M,\partial M)$, $N\subset \partial M$ un límite componente que $N\hookrightarrow M$ es un homotopy de equivalencia, es verdad eso de $M$ deformación se retrae en $N$?

Siéntase libre de asumir la hipótesis más si es necesario.

Answer 1

Sí, se obtiene una deformación retractarse. Más formalmente...

Supongamos $M$ es topológico, colector, $N\subseteq \partial M \subseteq M$ es un componente de $\partial M$ y que la inclusión $N\rightarrow M$ es un homotopy de equivalencia. A continuación, $M$ deformación se retrae a $N$.

Aquí está la idea de la prueba:

De Hatcher Topología Algebraica, Corolario 0.20 (pg. 16 en mi copia), es suficiente para demostrar que $(M,N)$ tiene el homotopy extensión de la propiedad.

Ahora, los límites de los componentes en topológica de los colectores se sabe que tienen collar de barrios (ver Morton Brown, "Localmente plana imbeddings topológico de colectores", Anales de las Matemáticas, Vol. 75 (1962), pág. 331-341.) Esto es más conocido en el buen categoría, donde también es mucho más fácil de probar.

Así, algunos cerrados, barrio de $N$ en $M$ es de la forma $N\times [0,1] = N\times I$, donde podemos identificar a $N$ con $N\times \{0\}\subseteq M$..

Ahora supongamos $f:M\rightarrow X$ es una función continua (donde $X$ es cualquier espacio topológico). Supongamos $F:N\times I\rightarrow X$ tiene la propiedad de que $F(n,1) = f(n)$. Queremos encontrar una función continua $G:M\times I\rightarrow X$ satisfacer dos condiciones. En primer lugar, para cualquier $n\in N$, $t\in I$que $G(n,t) = F(n,t)$. En segundo lugar, para cualquier $m\in M$, $G(m,1) = f(m)$.

A tal fin, establezca $G(m,t) = \begin{cases} f(m) & m\notin N\times [0,1]\\ F(n, \max\{s,t\}) & m=(n,s)\in N\times [0,1].\end{cases}$

Para comprobar la primera condición, tenga en cuenta que $n\in N\cong N\times \{0\}$ significa que el corresonding $s$ es $s= 0$. Desde $t\in[0,1]$, $\max\{s,t\} = \max\{0,t\}= t$, lo $G(n,t) = F(n,t).$

Para comprobar la segunda condición, tenemos $G(m,t) = f(m)$ si $m\notin N\times [0,1]$, independientemente del valor de $t$. Por otro lado, si $m = (n,s)\in N\times [0,1]$, entonces porque estamos tomando $t=1$, tenemos $\max\{s,t\} = t$. Por lo $G(m,1) = F(m,1) = f(m)$.

Por último, debemos verificar que $G$ es en realidad una función continua. Desde $f,F,$ e $\max$ son todas continuas, podemos ver que $G$ es una función continua ... el tiempo es una función. Es decir, todavía tenemos que comprobar que $G$ está bien definido en la "transición" de los puntos donde $s = 1$.

Pero, si $m\in N\times [0,1]$ es de la forma $m = (n,1)$, a continuación, $s=1$, lo $\max\{s,t\} = s=1$, lo $G(m) = F(n, \max\{s,t\}) = F(n,1) = f(n).$