Si$f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$ y$g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)$, con$f'(0)=0$, determine$[f(x)]^2+[g(x)]^2$

Question

Dadas las expresiones:

$f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$

$g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)$

el ejercicio es mostrar que $[f(x)]^2+[g(x)]^2$ es constante para todos los verdaderos $x$ y determinar su valor, sabiendo que $f$ e $g$ son reales diferenciables no constantes de funciones, y que $f'(0)=0$.

Me di cuenta de que se parece a la $\sin$ e $\cos$ funciones, por lo que la respuesta debe ser $1$. Para probar algo de esa manera, he intentado mostrar que $f$ e $g$ estaban siempre en el intervalo de $[-1,1]$.

También he tratado de derivados de cada expresión y el enchufe de la $x=y=0$ o sólo $y=0$, pero fue incapaz de desarrollar la solución.

Answer 1

Si dejamos $\phi(x)=f(x)+ig(x)$, a continuación, $\phi$ satisface la ecuación funcional $$ \phi(x+y)=\phi(x)\phi(y). $$ This gives $\phi(x)=\phi(x)\phi(0)$, so either $\phi \equiv 0$ or $\phi(0)=1$. Since $\phi \equiv 0$ is a trivial solution, we assume $\phi(0)=1$. Differentiating with $y$ and plugging $y=0$, we obtain $\phi'(x)=\phi " (0)\phi(x)$. Now, define $u(x)=e^{-\phi'(0)x}\phi(x)$ y observar que $$ u'(x)=e^{-\phi'(0)x}\left(\phi'(x)-\phi'(0)\phi(x)\right)=0. $$ This gives $u(x) = u(0)=\phi(0)=1$ and hence $\phi(x) = e^{\phi'(0)x}$. Since $$\phi'(0)=f'(0)+ig'(0)=ig'(0)$$ it follows $\phi(x) = e^{ig'(0)x}=e^{i\theta x}$ for some $\theta\en\Bbb R$, hence by Euler's identity $$ \left(f(x)\right)^2+\left(g(x)\right)^2 =\cos^2(\theta x)+\sin^2(\theta x) =1. $$ (Also note that trivial solution $\phi =0$ gives $\left(f(x)\right)^2+\left(g(x)\right)^2 =0$.)

Answer 2

Vamos a derivar las dos ecuaciones, con respecto a $x$ : usted obtener $$f'(x+y)=f'(x)f(y)-g'(x)g(y)$$ y $$g'(x+y)=f'(x)g(y)+f(y)g'(x)$$

La evaluación en $x=0$ le da, porque el a$f'(0)=0$, $$f'(y)=-g'(0)g(y)$$ y $$g'(y)=f(y)g'(0)$$

Así que para todos los $y$, $$f(y)f'(y) + g(y)g'(y) = - g'(0)g(y)f(y)+f(y)g'(0)g(y) = 0$$

Se puede conseguir que la $$2(f(y)f'(y) + g(y)g'(y))=0, \quad \text{i.e. } (f^2+g^2)'(y)=0$$

Por lo $f^2 + g^2$ es constante.

Para encontrar su valor, enchufe $x=y=0$ en los dos originales de las igualdades : usted obtener $$f(0)=f^2(0)-g^2(0)$$ y $$g(0)=2f(0)g(0)$$

Si $g(0) \neq 0$, se obtiene a partir de la segunda ecuación de $2f(0)=1$, lo $f(0)=\frac{1}{2}$. La primera ecuación qives se $g^2(0)= \frac{1}{4}-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, lo cual es imposible.

Por lo $g(0)=0$, por lo que la primera ecuación da $f(0)=f^2(0)$, lo $f(0)=0$ o $1$. Pero $f(0)=0$ es imposible debido a conectar $y=0$ en $f'(x+y)=f'(x)f(y)-g'(x)g(y)$ diría que $f'(x)=0$ e $f$ es constante, lo cual es imposible. Por lo $f(0)=1$, por lo que deducimos que $f^2(0)+g^2(0)=1$.

Finalmente, el valor de la constante de $f^2 + g^2$ es $1$.

Answer 3

Este es un gran problema. Pero usted no necesita saber lo $f'(0)$ es para saber que $[f(x)]^2 + [g(x)]^2$ es constante y que es igual a $1$.

En primer lugar, usted puede expresar este problema en los términos de la multiplicación de la matriz.

$$\left[\begin{matrix} f(x) & g(x) \\ -g(x) & f(x) \end{de la matriz}\right] \left[\begin{matrix} f(y) & g(y) \\ -g(y) & f(y) \end{de la matriz}\right] = \left[\begin{matrix} f(x + y) & g(x + y) \\ -g(x + y) & f(x + y) \end{de la matriz}\right]$$

Usando la propiedad de que $\text{det}(AB) = \text{det}(A)\text{det}(B)$, se obtiene

$\left([f(x)]^2 + [g(x)]^2\right) \left([f(y)]^2 + [g(y)]^2\right) = \left([f(x + y)]^2 + [g(x + y)]^2\right)$

Sustituto $[y/x]$

$\left([f(x)]^2 + [g(x)]^2\right)^2 = \left([f(2x)]^2 + [g(2x)]^2\right)$.

Usted puede ver por inducción que esto implica

$\left([f(x)]^2 + [g(x)]^2\right)^2 = \left([f(2^nx)]^2 + [g(2^ nx)]^2\right)$ cualquier $n \in \mathbb{N}$.

Lo que implica que

$\left([f(x)]^2 + [g(x)]^2\right)^2 = \left([f(x)]^2 + [g(x)]^2\right)$.

Lo que implica que $[f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 1$. En el caso de que $[f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 0$ es imposible, porque sabemos que $f \neq g$.