En el hamiltoniano cuántico, ¿por qué la energía cinética se convierte en un operador mientras que el potencial no?

Question

Cuando vamos a partir de la clásica de muchos cuerpos de hamilton

$$H = \sum_i \frac{\vec{p}_i^2}{2m_e} - \sum_{i,I} \frac{Z_I e^2 }{|\vec{r}_i - \vec{R}_I|} + \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{ e^2 }{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + \sum_I \frac{\vec{p}_I^2}{2M_I}+ \frac{1}{2}\sum_{I,J} \frac{Z_IZ_J e^2 }{|\vec{R}_I - \vec{R}_J|}$$

a la cuántica de muchos cuerpos de hamilton

$$H = -\sum_i \frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_i^2 - \sum_{i,I} \frac{Z_I e^2 }{|\vec{r}_i - \vec{R}_I|} + \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{ e^2 }{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} - \sum_I \frac{\hbar^2}{2M_I} \nabla_I^2+ \frac{1}{2}\sum_{I,J} \frac{Z_IZ_J e^2 }{|\vec{R}_I - \vec{R}_J|}$$

sólo la energía cinética de las piezas se convierten en operadores. Me refiero a las otras partes son también los operadores, pero simplemente números.

¿Por qué es este el caso? Mi conjetura es que tiene que ser con la representación en la que estamos trabajando, pero que tan lejos como puedo ir, no sé cómo afecta.

Alguien puede dar una explicación heurística también?

Answer 1

En realidad, el potencial es también un operador. Se da la circunstancia de que, en la posición de la representación, $\hat x\psi(x)=x\psi(x)$, de modo que la energía potencial operador $V(\hat x)$ hechos por la multiplicación: $V(\hat x)\psi(x)=V(x)\psi(x)$.

Aunque los actos "por simple multiplicación", no conmuta con el impulso, un signo de que todavía es un legítimo operador.

En el momento de la representación $\hat x$ hechos por la diferenciación por lo que en este caso la energía potencial operador se convierte en un (por lo general bastante complicado) diferencial de operador ya que uno necesita usar el formal de la expansión del potencial de convertir a un polinomio.

Answer 2

La corazonada de OP es exactamente correcta: en QM todos son operadores. Sin embargo, cada operador puede convertirse en un operador de multiplicación en ciertas representaciones. Por ejemplo, los operadores de posición se convierten en operadores de multiplicación en la representación de posición de Schrödinger, mientras que los operadores de impulso se convierten en operadores de multiplicación en la representación de impulso, y así sucesivamente.