Ejemplo donde es diferente de la suma de los cierres de % cierre de $A+B$ $A$y $B$

Question

Necesito un ejemplo de contador. Necesito dos subconjuntos$A, B$$\mathbb{R}^n$% para que$\text{Cl}(A+ B)$ sea diferente de$\text{Cl}(A) + \text{Cl}(B)$, donde$\text{Cl}(A)$ es el cierre de$A$ y$A + B = \{a + b: a \in A, b \in B\}$

Answer 1

También es posible encontrar ejemplos en$\mathbb{R}$. Por ejemplo, deje$A = \{n+\frac1{2n}:n \in \mathbb{Z}^+\}$, y deje$B = \{-n:n \in \mathbb{Z}^+\}$; claramente$A$ y$B$ están cerrados. $A$ no contiene un número entero, por lo que$0 \notin A+B$, pero$A+B \supseteq \{\frac1{2n}:n \in \mathbb{Z}^+\}$, así que$0 \in \operatorname{cl}(A+B)$.

Tenga en cuenta que nunca es posible tomar$A$ y$B$ para ser compacto: si$A$ y$B$ son subconjuntos compactos de$\mathbb{R}^n$,$A \times B$ es un subconjunto compacto de$\mathbb{R}^{2n}$, y su imagen continua bajo adición es un subconjunto compacto y por lo tanto cerrado de$\mathbb{R}^n$. Por lo tanto, todos estos ejemplos deben involucrar conjuntos ilimitados.

Answer 2

Tome$A=\{1,10,100,\dots\}$ y$B=\{-0.9,-9.99,-99.999,\dots\}$ en$\mathbb{R}$.

Answer 3

Dave Rusin da un contraejemplo en$\mathbb R^2$ en http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/95/closed.djr , a saber,$A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ y$B=\{(x,-1/x):x\neq 0\}$, con el comentario, "Encuentre un punto que no esté en$A+B$ que se encuentra en el cierre de$A+B$," para llevarlo a la prueba de que esto es en realidad un contraejemplo. (Tenga en cuenta que$A$ y$B$ están cerrados en este ejemplo).