¿Se puede cargar un campo de Majorana$\psi$ bajo algún$U(1)$ con un cargo diferente a cero?

Question

Sé partículas de Majorana tiene que ser eléctricamente neutro porque cargadas eléctricamente se conserva.

Mi pregunta, sin embargo, es si un Majorana campo $\psi$ acusados en virtud de cualquier $U(1)$ (distinta de $U(1)$ de electromagnetismo) con un valor distinto de cero $U(1)$ de carga? Si sí, ¿cómo? No de la definición de la condición de $\psi=\psi^c$ siempre matemáticamente restringir todas las $U(1)$ de los cargos a ser cero? Permítanme explicar por qué pienso así. Supongamos que se le asigna un valor distinto de cero U(1) cargo de $\alpha$ para el campo $\psi$, de modo que $$\psi^\prime=e^{i\alpha}\psi.$$ What is the charge of the field $\psi^c$? It can be easily seen that $$\psi^{c\prime}=C\bar{\psi^\prime}^T=C\gamma^{0T}\psi^{\prime *}=e^{-i\alpha}C\bar{\psi}^T=e^{-i\alpha}\psi^c.$$

Por lo tanto, para cualquier $U(1)$ $\alpha$ asignado al campo $\psi$, el complejo conjugado de campo $\psi^c$ tendrá la carga de la $-\alpha$. ¿Qué implica para una partícula de Majorana donde $\psi=\psi^c$? Esto necesariamente implica que $\alpha=0$ es decir, Majorana campos no pueden ser acusados en virtud de alguna U(1) grupo. Por lo tanto, es que no es posible asignar un valor distinto de cero $U(1)$ de carga para estos campos. Me estoy perdiendo algo aquí?

Si mi conclusión es correcta, ¿qué significa decir que un Majorana masa viola $U(1)$ número cuántico (tales como el número leptónico) por 2 unidades? Me debe faltar algo de advertencia. ¿Qué es eso?

Answer 1

Majorana campo puede no ser acusados en virtud de la U(1) del grupo. Sin embargo, puede ser acusado en virtud de la $\mathbb{Z}_2$ subgrupo de U(1). En virtud de la $\mathbb{Z}_2$ transformación, $\psi\to\psi'=-\psi$, cualquier Majorana fermión de Hamilton (tales como el Majorana masa $m\psi\psi$) debe ser invariante bajo esta $\mathbb{Z}_2$ simetría, que es también llamado el fermión de paridad de simetría. Por lo tanto, podemos asignar un $\mathbb{Z}_2$ número cuántico (es decir, el fermión de paridad) para el Majorana campo, que es el número leptónico modulo dos. En otras palabras, el número leptónico no se conserva para el Majorana fermión, pero sólo se puede cambiar por 2, por lo que la paridad del número leptónico es que aún se conserva.

En la derivación, la carga de la conjugación de la condición de $\psi'=\psi'^{c}$ requiere de: $$e^{\mathrm{i}\alpha}\psi=e^{-\mathrm{i}\alpha}\psi^c=e^{-\mathrm{i}\alpha}\psi,$$ lo que implica $$e^{\mathrm{i}\alpha}=e^{-\mathrm{i}\alpha}.$$ Esta ecuación tiene dos soluciones: $\alpha=0$$\alpha=\pi$. La solución de $\alpha=\pi$ corresponde a la no-trivial $\mathbb{Z}_2$ de carga. En general, todos los campos compuestos hechos de Majorana campo (como $\psi_a\psi_b\psi_c\cdots$) puede llevar a la $\mathbb{Z}_2$ de carga. Deje $q=0,1$ $\mathbb{Z}_2$ cargo, luego de una carga de-$q$ operador $O_q$ se transforma en virtud de la $\mathbb{Z}_2$ simetría como $$O_q\to O'_q=e^{\mathrm{i}q\pi}O_q.$$ Uno puede ver la Majroana campo $\psi$ sí ha $q=1$, que tiene una unidad de número leptónico (modulo dos). Sin embargo, no tiene sentido hablar de la U(1) número leptónico de la Majorana fermión, porque la U(1) la simetría se ha desglosado $\mathbb{Z}_2$. Para más presicely, debemos decir que el Majorana campo es fermión de paridad impar (es decir, que lleva una unidad de la $\mathbb{Z}_2$ número cuántico). El Majorana masa $m_{ab}\psi_a\psi_b$, la interacción $V_{abcd}\psi_a\psi_b\psi_c\psi_d$ y todos los otros términos que aparecen en el Hamiltoniano tiene $q=0$, los cuales son fermión paridad incluso (lo que significa que no llevan a la $\mathbb{Z}_2$ número cuántico).

Answer 2

Déjame escribirlo como respuesta. Sí, el neutrino de Majorana no se puede cargar bajo$U(1)$, incluyendo% global $U(1)_L$del número de Lepton. Lo que entendemos por violación de$L$: los procesos, como la desintegración doble beta sin neutrinos , sensibles al término masivo de Majorana, violarán$L$ por dos unidades, que para el ejemplo dado corresponde a la producción de dos electrones , y (¡sorpresa!) no hay neutrinos.