Demuestre que los intervalos$(0,1)$ y$(0,\infty)$ tienen la misma cardinalidad

Question

Tengo que probar que los intervalos$(0,1)$ y$(0,\infty)$ tienen la misma cardinalidad. Encuentro un ejemplo similar con$(0,1)$ y$\mathbb{R}$ pero todavía no tengo idea para resolverlo.

Answer 1

$x \mapsto \frac{1}{x}$ es una bijección entre$(0,1)$ y$(1, + \infty)$. Luego usa una traducción para obtener$(0,+\infty)$.

Answer 2

Defina$f : (0, 1) \to (0, \infty)$ por$$f(x) = -\frac{x^2}{x-1}.$$ We can use methods from calculus to verify that this is a bijection. Since $ f$ is a bijection between $ (0, 1)$ and $ (0, \ infty) $, estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad.

Answer 3

Otra forma más de hacerlo:

La función

$y = \tanh(x) \tag{1}$

mapas$(0, \infty) \to (0, 1)$. Además,

$y'(x) = \cosh^{-2}(x) > 0 \tag{2}$

para $x \in (0, \infty)$. Por lo tanto,$\tanh(x)$ es una bijección, ya que es$\tanh^{-1}(x)$ que mapea$(0, 1) \to (0, \infty)$.

Answer 4

Otra bijection explícita:$x \mapsto \tan{(\pi x/2)}$ es continua, aumentando en$(0,1)$, tiende a$0$ como$x \to 0$, y$\infty$ como$x \to 1$, por lo que es una bijection$(0,1) \to (0,\infty)$

Answer 5

Una bijección es una función que, para cada entrada distinta tiene una salida única y distinta, y para cada salida distinta tiene una entrada única y distinta.

Para probar que 2 juegos tienen la misma cardinalidad, puedes probar que hay una transformación biyectiva de uno a otro.

Para$(0, 1)$ a$(0, +\infty)$, hay un número infinito de funciones biyectivas.

Por ejemplo:

PS