Integrando $\int (\ln(x))^2 \, dx$

Question

¿Cómo integraría lo siguiente? $$\int (\ln(x))^2 \, dx$$ Lo hice $$u=(\ln(x))^2, \hspace{5mm} du= \frac{2 \ln(x)}{x}, \hspace{5mm} dv=1$$ para conseguir \begin{align} \int (\ln(x))^2 \, dx &= \ln(x)^2(x) - 2 \int \frac{x \, \ln(x)}{x} \, dx \\ &= -2 \, \int \ln(x) \, dx \\ &= \ln(x)^2(x)-2\left[x \, \ln(x)-\int dx \right] \\ &= \ln(x)^2(x) - 2[x \, \ln(x) - x + c] \end{align}

Answer 1

Buen trabajo. ¡Tienes la respuesta correcta! Sólo recuerde es mostrar su trabajo para incluir $\,dx$ en el cierre de una integral, y poniendo $\,dv = 1$ (debería ser $\,dv = \,dx \implies v = x)$ .

Simplemente sugeriría expresar el resultado de la integración por partes de la siguiente manera: $$x(\ln x)^2-2[x\ln(x)-x] + C$$ Incluso podríamos querer tener en cuenta $x$ de cada término:

$$x\Big((\ln x)^2 - 2\ln x + 2\Big) + C$$

Pero su trabajo y el resultado son realmente correctos.

Answer 2

\begin{align} ? &= \int\left\lbrack\ln\left(x\right)\right\rbrack^{2}\,{\rm d}x = \lim_{n \to 0} {\partial^{2} \over \partial n^{2}}\int x^{n}\,{\rm d}x = \lim_{n \to 0}{\partial^{2} \over \partial n^{2}} \left({x^{n + 1} \over n + 1}\right) \\[3mm]&= \lim_{n \to 0}\left\lbrace% x^{n + 1}\left\lbrack\ln\left(x\right)\right\rbrack^{2}\,{1 \over n + 1} + 2x^{n + 1}\ln\left(x\right)\,{-1 \over \left(n + 1\right)^{2}} + x^{n + 1}\,{2 \over \left(n + 1\right)^{3}} \right\rbrace \\[3mm]&= x\left\lbrack\ln\left(x\right)\right\rbrack^{2} - 2x\ln\left(x\right) + 2x = \color{#ff0000}{\large% x\left\lbrace% \left\lbrack\ln\left(x\right)\right\rbrack^{2} - 2\ln\left(x\right) + 2\right\rbrace} \end{align}

${\large +\ \mbox{a constant}}$