Problema diofantino relacionado con los triples pitagóricos: demostrar que 2 expresiones no pueden ser ambas cuadrados perfectos

Question

Dados 2 triples pitagóricos primitivos con parámetros según: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple

El primer triple tiene parámetros $(m,n)$ . El segundo tiene parámetros $(r,s)$ . Tenga en cuenta que $m>n$ y $r>s$ . Definimos $g$ y $h$ según estas ecuaciones:

$$g^2 = (mn(r^2-s^2))^2 + (mn(r^2-s^2)-rs(m^2-n^2)+2mnrs)^2$$ $$h^2 = (rs(m^2-n^2))^2 + (mn(r^2-s^2)-rs(m^2-n^2)+2mnrs)^2$$

Estoy tratando de mostrar que $g$ y $h$ no pueden ser ambos enteros a menos que $m=r$ y $n=s$ .

Si te interesa de dónde viene esto, estaba trabajando en el problema de la distancia racional: http://unsolvedproblems.org/index_files/RationalDistance.htm

Y se llegó a probar el problema anterior. Agradezco cualquier consejo para resolver el problema anterior.

Answer 1

Esto NO es una respuesta completa, ya que creo que demostrarlo sería extraordinariamente difícil. Encontrar un posible contraejemplo tampoco es trivial.

Podemos simplificar el problema definiendo $e=m/n$ y $f=r/s$ , por lo que tratamos con variables racionales. Ambas ecuaciones son de la forma "cuártica en $e$ es igual a un cuadrado". La primera ecuación se convierte en

\begin{equation*} \Box=f^2e^4-2f(f^2+2f-1)e^3+2(f^4+2f^3-f^2-2f+1)e^2+2f(f^2+2f-1)e+f^2 \end{equation*}

Desde $e=0$ da una solución, este cuártico es biracionalmente equivalente a una curva elíptica. Utilizando métodos estándar, encontramos la curva

\begin{equation*} V^2=U(U-2f^2(f+1)^2)(U-2(f^2+1)(f^2+2f-1)) \end{equation*} con la transformación inversa \begin{equation*} e=\frac{2f^6+8f^5+8f^4-f^2(U+2)-2f\,U+U-V}{2f(f^4+4f^3+4f^2-U-1)} \end{equation*}

Las curvas, para las $f$ , tienen un rango de al menos $1$ con un punto de orden infinito en $(\,4f^2(f^2+1), 4f^2(f-1)^2(f^2+1)\,)$ suponiendo que $|f| \ne 0,1$ .

Por lo tanto, un posible método para encontrar una solución es seleccionar $f$ encontrar los generadores de la curva elíptica, obtener puntos en la curva y encontrar $e$ . A continuación, compruebe si $e$ y $f$ satisfacen la segunda ecuación.

La segunda ecuación también da un cuarteto en $e$ , a saber \begin{equation*} \Box=2f^2e^4-2f(f^2+2f-1)e^3+(f^4+4f^3-2f^2-4f+1)e^2+2f(f^2+2f-1)e+2f^2 \end{equation*} que también se puede demostrar que es equivalente a una curva elíptica diferente, ya que $e=1$ da una solución. Esta curva elíptica también tiene un rango de al menos $1$ por el hecho de ser fijo $f$ .

Espero que esta pequeña contribución ayude de alguna manera.