¿Es posible intercambiar el orden de los límites en este caso?

Question

Estoy atascado en este problema.

Dejemos que $g \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ con $|x|^p |D^{q} g| \rightarrow 0$ como $|x| \rightarrow \infty$ para cualquier entero no negativo $p$ y $q$ .

Supongamos que $|g(\gamma)| \leq (1+\gamma^2)^{-1}$ para $\gamma \in \mathbb{R}$ .

Demuestra que $$\lim_{N\rightarrow\infty} \lim_{T\rightarrow\infty}\sum_{|n|\leq NT} \frac{1}{T}g\left(\frac{n}{T}\right) = \lim_{T\rightarrow\infty}\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{|n|\leq NT} \frac{1}{T}g\left(\frac{n}{T}\right).$$

Es sólo un intercambio del orden de los límites. Pero, ¿cómo podemos garantizar esta igualdad?

Se agradecerá cualquier ayuda.

**(edit) He comprobado que $$ \lim_{T\rightarrow\infty}\sum_{|n|\leq NT} \frac{1}{T}g\left(\frac{n}{T}\right) = \int_{-N}^N g(\gamma) \, d\gamma,$$ para que $$\lim_{N\rightarrow\infty}\lim_{T\rightarrow\infty}\sum_{|n|\leq NT} \frac{1}{T}g\left(\frac{n}{T}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} g(\gamma) \, d\gamma. $$

Answer 1

Observemos el RHS. Dado que $|g(x)| \le C_1 (1+x^2)^{-1}$ la serie es absolutamente convergente y $$ \lim_{N \to \infty} \sum_{|n|\leq NT} \frac{1}{T}g\left(\frac{n}{T}\right) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{T}g\left(\frac{n}{T}\right) = \int_{\mathbb{R}} g_T(x) \, dx, $$ donde $g_T$ es una aproximación constante a trozos de $g$ : $$ g_T(x) = g(n/T) \quad \text{for } \frac{n}{T} \le x < \frac{n+1}{T}, \ n \in \mathbb{Z}. $$

Podemos suponer que $|g'(x)| \le C_2 (1+x^2)^{-1}$ para $x \in \mathbb{R}$ . Debido al teorema del valor medio de Lagrange, para cualquier $\frac{n}{T} \le x < \frac{n+1}{T}$ podemos elegir $\theta \in [n/T,x]$ tal que $g(x)-g(n/T) =(x-n/T) g'(\theta)$ . Desde $|\theta| \ge |x|-1$ y $|x-n/T| \le 1/T$ , $$ |g_T(x)-g(x)| \le |x - \frac{n}{T}| \cdot |g'(\theta)| \le \frac{1}{T} \cdot C_2(1+(|x|-1)^2)^{-1}. $$ Así, la función obtenida es integrable en $\mathbb{R}$ Por lo tanto $$ \left| \int_{\mathbb{R}} g_T(x) \, dx - \int_{\mathbb{R}} g(x) \, dx \right| \le \frac{C_2}{T} \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{1+(|x|-1)^2} \xrightarrow{T \to \infty} 0. $$ Esto significa que ambos lados son de hecho iguales a $\int_{\mathbb{R}} g(x) \, dx$ .