Conversión de la combinación lineal a la forma sinusoidal de una función sinusoidal (problema simple, pero me falta algo).

Question

Esta es una identidad trigonométrica estándar que puede verificarse fácilmente:

PS

Así por ejemplo,

PS

y

PS

Mi pregunta es por qué es que$$a\cos (x) + b\sin (x) = \sqrt{a^2+b^2}\cos (x - p),\text{ where }\tan(p)=\frac ba.$ es el valor principal de$$\sqrt2\cos(1)-\sqrt2\sin(1)=-0.43=2\cos(1-p_1),\text{ where }\tan(p_1)=-1,$ radianes, mientras que para$$-\sqrt2\cos(1)+\sqrt2\sin(1)=0.43=2\cos(1-p_2),\text{ where }\tan(p_2)=-1.$, tengo que agregar$p_1$ al valor principal para obtener ¿El ángulo positivo$\arctan (-1) = -0.79$ radianes?

Por ejemplo, ¿cómo podría haber deducido que$p_2$ se encuentra en el cuadrante$\pi$ y que$2.36$ se encuentra en el cuadrante$p_1$?

Answer 1

Si utilizamos la identidad trigonométrica $\cos(s-t)=\cos s\cos t+\sin s \sin t$, podemos ver que $p$ es cualquier número del ángulo cuyo seno es $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ y cuyo coseno es $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Así que en el primer ejemplo, se desea $p_1$ tal que $\sin(p_1)=-1$$\cos(p_1)=1$. Esto pasa a ser $\arctan(-1)$.

En el segundo ejemplo, queremos que la $\sin(p_2)=1$$\cos(p_2)=-1$. La misma tangente como en el caso anterior, pero definitivamente no es dado por $\arctan(-1)$.

Si uno recuerda que no es meramente $\tan$ que necesita ser correspondido, pero tanto $\sin$ $\cos$ , la dificultad desaparece.

Observación: Debido a que este es un problema común, muchos lenguajes de programación tienen una función integrada, a menudo se llama algo así como atan2, que dado un par ordenado de $(u,v)$ de los números, produce un ángulo cuyo coseno es $u$ y en cuyo seno es $v$. Para cada aplicación, uno tiene que verificar los detalles, porque la sintaxis no es un estándar, a veces los roles de $u$ $v$ son a la inversa.