Modelización del flujo de tráfico - Caso de la entrada a la autopista

Question

Una autopista contiene una distribución uniforme de coches que se mueven a flujo máximo en el $x$ - en $x$ . Las mediciones muestran que la velocidad del coche $v$ obedece a la relación $v = 1 $ , de coches por unidad de longitud. Se construye una rampa de acceso a la autopista en la región $0 x < 1$ . Los urbanistas quieren saber si deben limitar la tasa por unidad de longitud de los coches, $$, entering the highway via this on-ramp, to avoid traffic jams on the highway. The on-ramp is closed for all time $ t < 0 $, and opens for $ t 0$.

Calcular las características, los choques/ventiladores relacionados, la densidad del coche a Utilizando este diagrama, da una expresión matemática para la densidad, $(x, t)$ . Sugerencia: Una complicada ecuación de primer orden complicada. Primero determine $x(0)$ y $x'(0),$ t solución en serie para $x(t)$ .

Hola a todos, soy consciente de que se ha publicado una pregunta similar, pero estoy buscando algo un poco diferente. Enlace de post similar : Modelización del flujo de tráfico - ¿Cómo identificar los abanicos/choques?

Creo que las características son $x = $ $ \left\{ \begin{array}{ll} c & x<0, x \geq 1\\ -\alpha t^2 + c & 0\leq x <1 \\ \end{array} \right. $

Dónde $c$ es una constante.

Ahora tengo problemas con el resto de la pregunta, es decir, calcular los choques/abanicos así como la forma de utilizar el diagrama espacio-tiempo para calcular la densidad. He hecho algunas preguntas de modelización de tráfico antes, pero nunca el caso en el que los coches están constantemente entrando en una autopista se trata y todavía no he visto una pregunta de este tipo donde se requiere una "solución en serie". Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

El problema de que la rampa de acceso esté inicialmente vacía pero se llene de repente parece muy poco realista, pero plantea un problema interesante. Creo que esta es la interpretación de @Ryan J: y @Harry49. y estoy de acuerdo con la mayoría de sus resultados hasta ahora.

La expansión requiere resolver la EDP con el término fuente para $x\in[0,1]$ sujeta a la condición de contorno $\rho=1/2$ en $x=1$ . Es decir, un problema de valor límite en lugar de un problema de valor inicial. Fue un cambio inusual del que tardé algún tiempo en darme cuenta. Es esta característica la que parece distinguir este problema de todas las preguntas aparentemente similares. El mensaje que hay que aprender es que, al resolver EDP hiperbólicas, las condiciones de contorno correctas pueden ser desconocidas al principio, y tienen que surgir a medida que se aprende más sobre la solución.

Sobre la característica que parte de $x=1$ en $t=t_0$ la solución de las ecuaciones características es $$x=1-\alpha(t-t_0)^2, \qquad\rho=1/2+\alpha(t-t_0)$$

Eliminación de $t_0$ da $$\rho=1/2+\sqrt{\alpha(1-x)}$$ En $x=0$ tenemos $$\rho=1/2+\sqrt{\alpha}$$ Esto definirá otro problema de valor límite para la región $x<0$ . Las características en esta región serán rectas y llevarán valores constantes de $\rho$ . Un atasco $\rho=1$ no puede ocurrir en ningún sitio a menos que ocurra en $x=0$ . La densidad viene dada por $$\rho(0,t)=1/2+\alpha t,\qquad t<\sqrt{1/\alpha}$$ $$\qquad\qquad=1/2+\sqrt{\alpha},\qquad t>\sqrt{1/\alpha}$$ De estos resultados se desprende que un atasco (en el sentido de $\rho=1$ ) se formará si y sólo si $\alpha\ge 1/4$ . Aunque puede evitarse un atasco en este sentido, la onda de choque se extenderá aguas arriba a cualquier distancia, creando una corriente entre ella y la rampa de entrada con una densidad $\rho=1/2+\sqrt{\alpha}$ y eso es inevitable para cualquier $\alpha$ . Que ocurriera algo indeseable podría haberse previsto, ya que se están añadiendo más vehículos a una carretera que ya está a plena capacidad.

Hice un dibujo de las características para el caso $\alpha=1/6$ . Esto implicaba encontrar cuatro conjuntos no triviales de curvas. No resolví el choque exactamente, sino que esbocé algo que más o menos biseca las características. En este caso no hay atasco, sino una región en rápido crecimiento con una densidad de 0,91, que se desplaza a una velocidad de ¡0,09! en el caso general, para cualquier $\alpha\le 1/4$ , el choque se desplaza hacia la izquierda con velocidad $\sqrt{\alpha}/2$ . Dado que la velocidad en el flujo posterior al choque es $1-\sqrt{\alpha}$ Esto aumenta la duración del trayecto en aproximadamente $\alpha T/(1-2\sqrt{\alpha})$ para un vehículo que se encuentra con el choque en el momento $T$ .

Answer 2

La densidad inicial de coches es $\rho(x_0,0)=1/2$ . Como se menciona en el OP y en el puesto vinculado A la hora de aplicar el método de las características, hay que tener en cuenta dos casos. El segundo equivale a las ecuaciones diferenciales acopladas $\rho'(t) = \alpha\mathbf{1}_{0\leq x(t)\leq 1}$ y $x'(t) = 1-2\rho(t)$ donde $\mathbf{1}$ denota la función indicadora. Las condiciones iniciales son $\rho(0) = 1/2$ y $x(0) = x_0$ .

1. Si $x_0\leq 0$ o $1 \leq x_0$ entonces empezamos sin término fuente. Por lo tanto, se recupera el caso del modelo LWR homogéneo, donde las características son líneas rectas a lo largo de las cuales $\rho$ es constante. Tenemos $x = x_0$ y $\rho = 1/2$ .

2. Si $0 < x_0 < 1$ entonces empezamos con el término fuente $\alpha$ . Por lo tanto, sabemos $x = x_0 - \alpha t^2$ y $\rho = 1/2 + \alpha t$ hasta $t = t_1 = \sqrt{x_0/\alpha}$ donde $x=0$ . Para $t> t_1$ tenemos de nuevo rectas con ecuación $x = -2\sqrt{\alpha x_0}(t-t_1)$ a lo largo de la cual $\rho$ es constante e igual a $\rho_1 = 1/2 + \sqrt{\alpha x_0}$ .

Como se señala cualitativamente en el post enlazado, se genera una onda de choque en $(x,t) = (0,0)$ . La densidad del coche a la izquierda del choque es $\rho_L = 1/2$ . A la derecha del choque, los datos proceden de la rampa. Tenemos $t_1 = t+x/(2\rho_1 - 1)$ y $t_1 = (\rho_1-1/2)/\alpha$ lo que da la densidad $\rho_R = \rho_1$ a la derecha del choque. La abscisa $x_s$ del choque satisface la condición Rankine-Hugoniot $$ x_s'(t) = 1 - (\rho_R + \rho_L) = -\frac{\alpha t}{2}\left(1 + \sqrt{1 + 2 \frac{x_s(t)}{\alpha t^2}}\right) , $$ con la condición inicial $x_s(0) = 0$ . Si $|x_s(t)|\ll \alpha t^2$ entonces podemos hacer la aproximación en serie de Taylor $x'_s(t) \simeq -\alpha t - {x_s(t)}/({2 t})$ . Esta ecuación diferencial admite la solución $x_s(t) \simeq -\frac{2}{5}\alpha t^2$ que, efectivamente, es menor que $\alpha t^2$ en valor absoluto.

Un boceto en el $x$ - $t$ plano muestra que la onda de choque interactuará con la curva característica $x = 1-\alpha t^2$ emitido desde $x_0 = 1$ en algún momento $t>\sqrt{1/\alpha}$ (véase la respuesta de @PhilipRoe). Antes de que esto ocurra, la solución es $$ \rho(x,t) = \left\lbrace\begin{aligned} &\tfrac{1}{2} &&\text{if}\quad x < x_s(t)\\ &\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\left(\alpha t + \sqrt{\alpha^2 t^2 + 2\alpha x_s(t)}\right) &&\text{if}\; x_s(t) < x \leq 0\\ &\tfrac{1}{2} + \alpha t &&\text{if}\; 0 \leq x \leq 1 - \alpha t^2\\ &\tfrac{1}{2} + \sqrt{\alpha (1-x)} &&\text{if}\; 1 - \alpha t^2 \leq x \leq 1\\ &\tfrac{1}{2} &&\text{if}\; 1 \leq x \end{aligned}\right. $$