Dos números$x$ y$y$ se seleccionan al azar sin reemplazo del conjunto$\{1,2,3,\cdots,100\}$. Encuentre la probabilidad de que$x^4 - y^4$ sea divisible por$5$.
No sé cómo proceder con este problema. Por lo que cualquier ayuda se agradece.
Respuestas
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Aquí está el cuarto poderes modulo $5$: $$ 0^4 \equiv 0, 1^4 \equiv 1, 2^4 \equiv 1, 3^4 \equiv 1, 4^4 \equiv 1 $$ (Usted puede calcular estas con la mano, o concluir el uso de Fermat poco teorema.) De todos modos, $x^4 - y^4$ es un múltiplo de a $5$ si y sólo si $x^4 \equiv y^4 \pmod 5$. Hay $20$ múltiplos de $5$ $80$ no agrupados, por lo que el número de pares no ordenados de números donde $x^4 \equiv y^4 \pmod 5$ es $$ {20 \elegir 2} + {80 \elegir 2} $$ A continuación, usted debe dividir por el número total de maneras de elegir a $2$ número de $100$.
Farkhod Gaziev
Puntos
6
INSINUACIÓN:
Si $\displaystyle 5|(x^4-y^4)$
Caso $1:$
$\displaystyle 5|x^4$
Como$5$ es primo, debe dividir$x$ y, posteriormente,$5|y^4\iff 5|y$
Caso $2:$
Como$5$ es primo, si$5\nmid x,(5,x)=1$
Ahora, $\displaystyle x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2-4+5)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)+5(x^2-1)$
Si$5\nmid x,5$ debe dividir exactamente uno de$(x-1),(x+1),(x-2),(x+2)$
$\displaystyle\implies 5\mid(x^4-1)$
Similar, $5\nmid y,(5,y)=1$
Ahora hay$\displaystyle\frac{100}5=20$ múltiplos de$5$ en el conjunto dado
Necesitamos$$P\{xy, (xy,5)=1 \text{ or } (5|x\text{ and } 5|y)\}$ $
¿Puedes tomarlo desde aquí?
