Esperanza de $ e^{-4B_\tau} $, donde $ \tau $ es un tiempo de parada extendido.

Question

Este es un ejemplo específico, así que con un poco de suerte puedo obtener alguna metodología general de sus respuestas.

Tengo este tiempo de parada: $$ \tau = \inf\{t \geq 0; B_t < t - 2 \} $$

Este es un claro ejemplo del tiempo de contacto del proceso $B_t$ con un conjunto abierto, por lo tanto, $\tau$ es un tiempo de parada extendido. Ahora estoy tratando de calcular: $$ \mathbb Ee^{-4B_{\tau}} $$

Mi problema es que ahora no puedo substituir $B_{\tau}$ por ningún valor como suelo hacer, porque el tiempo de parada no es de la forma $B_t = x$. Estaba pensando en considerar el evento $B_t = t-3$ para intentar calcular esto, pero no estoy seguro si es válido.

Cualquier pista es más que bienvenida.

Answer 1

Sugerencias

1. Se sigue de la continuidad de las trayectorias de la muestra que $$B_{\tau} = \tau-2.$$ (Suponga que $B_{\tau}<\tau-2$. Entonces la función continua $f(t) := t-2-B_{t}$ satisface $f(\tau)>0$. Por lo tanto, existe $s<\tau$ tal que $f(s)>0$, es decir, $B_s _* Usando la fórmula de Itô (o algunos cálculos sencillos) no es difícil demostrar que $$M_t := \exp\bigg(-2(B_t+t) \bigg)$$ es una martingala.
   • Aplicar el teorema de parada opcional y el teorema de convergencia dominada para deducir $$\mathbb{E}M_{\tau} =1.$$ De 1. se sigue que $$1 = \mathbb{E}M_{\tau} = \mathbb{E}\exp(-2((\tau-2)+\tau) = \exp(4) \cdot \mathbb{E}\exp(-4\tau)$$ es decir, $\mathbb{E}\exp(-4\tau) = e^{-4}$. Por lo tanto, $$\mathbb{E}e^{-4B_{\tau}} = \mathbb{E}e^{-4(\tau-2)} = e^{-4} e^{8} = e^4.$$_