¿Las raíces complejas siempre vienen en pares?

Question

El Teorema de la raíz conjugada compleja establece que, dado el polinomio $p(x)$ con coeficientes reales $p \in \mathbb{R}[p]$ y una de sus raíces siendo $a+bi \in \mathbb{C}$, su par conjugado complejo $\overline {z}$ debe ser también una raíz. También podríamos concluir intuitivamente que solo multiplicando $(a+bi)$ con $(a-bi)$ se destruirán las partes imaginarias, permitiendo que $p$ sea un polinomio real.

Siguiendo esta línea de razonamiento, no debería ser necesario que las raíces complejas de un polinomio complejo vengan en pares. Sin embargo, esta premisa se utilizó para resolver una de mis tareas escolares.

¿Las raíces complejas siempre tienen que venir en pares, independientemente del campo en el que se definió el polinomio?

Answer 1

Considera el polinomio $z-i$ . . .

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Es bueno recordar la razón por la cual el teorema del conjugado complejo es verdadero en primer lugar: el mapeo $z\mapsto \overline{z}$ es un automorfismo del campo $\mathbb{C}$, y fija el subcampo $\mathbb{R}$ (esto es una forma elegante de decir que $\overline{r}=r$ si $r$ es real). Así - definiendo el "conjugado" $\overline{p}$ de un polinomio (con coeficientes en $\mathbb{C}$) como el polinomio cuyos coeficientes son los conjugados de los coeficientes correspondientes de $p$ - tenemos lo siguiente:

• Si $p$ es cualquier polinomio y $z$ es una raíz de $p$, entonces $\overline{z}$ es una raíz de $\overline{p}$.

• Si los coeficientes de $p$ son de $\mathbb{R}$, entonces $\overline{p}=p$.

¡Este segundo hecho ya no es cierto para polinomios con coeficientes fuera de $\mathbb{R}$!

Nota que esto se generaliza de una manera natural a:

Supongamos que $F$ es un subcampo de $\mathbb{C}$, $\varphi$ es un automorfismo de campo de $\mathbb{C}$ que fija a $F$, y $p$ es un polinomio con coeficientes en $F$. Entonces si $z$ es una raíz de $p$, también lo es $\varphi(z)$.

Este es el (bueno, "un") primer paso hacia la teoría de Galois . . .

Answer 2

$(z-i)(z-2i)$ tiene dos raíces complejas, $i$ y $2i$, pero sus conjugados no son raíces.