Si $M$ es cualquier longitud finita $R$ -módulo, entonces $\mathfrak m^n M = 0$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . (Esto se deduce de la definición de longitud finita).
Para cualquier gen. finito. $R$ -Módulo $M$ tenemos que $M\otimes_R \hat{R} = \hat{M}$ , el $\mathfrak m$ -Cumplimiento de los requisitos de $M$ . (Esto se desprende de Artin--Rees.)
Combinando estas dos afirmaciones se obtiene el isomorfismo $H_{\bullet}(R)\otimes \hat{R} \cong H_{\bullet}(R)$ sobre el que preguntaste.
En cuanto a por qué el álgebra de Koszul tiene una longitud finita: ayudaría si recordaras la definición, pero mi suposición en este contexto es que $H_{\bullet}(R)$ significa algo así como la homología de un complejo de Koszul construido a partir de algún sistema de parámetros para $\mathfrak m$ . Si es así, la homología consiste en una generación finita de $R$ -módulos (ya que los términos del complejo son libres $R$ -), que también se admiten en $\mathfrak m$ (como se deduce del hecho de que se trata de un complejo de Koszul hecho a partir de un sistema de parámetros para $\mathfrak m$ ); por tanto, los módulos de homología son de longitud finita.
[Más detalles sobre el último párrafo añadidos a petición de la OP]
Si localizamos en un ideal primo que no sea el ideal máximo, entonces el sistema de parámetros que define el complejo de Koszul genera ahora el ideal unitario. Así que hay que demostrar que cualquier complejo de Koszul construido a partir de una colección de generadores del ideal unitario tiene cohomología trivial. Este es un hecho estándar, creo; si se quiere, es un cálculo desde el punto de vista de la cohomología de Cech de la desaparición de la cohomología superior de las láminas cuasi-coherentes sobre Spec de un anillo.
Esto demostrará que la cohomología del complejo de Koszul se apoya en el ideal máximo. También consiste en módulos generados finitamente. En conjunto, estos hechos muestran que cada módulo de cohomología es de longitud finita (porque cualquier módulo f.g. apoyado sólo en el ideal máximo es de longitud finita).