¿Dónde termina el símbolo de suma en una expresión como$\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2 + \sum_{j=1}^m a_j$?

Question

Estoy buscando a la siguiente ecuación:

$$\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2 + \sum_{j=1}^m a_j$$

No estoy seguro de lo que el convenio para el orden de las operaciones para que esto sería.

Es:

$$(\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2) + \sum_{j=1}^m a_j$$

o

$$\sum_{i=1}^n ((a_i+b)^2 + \sum_{j=1}^m a_j)$$

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Edit: Si el signo se cambió a un producto, ¿cómo podría esto ser evaluado?

$$\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2 \sum_{j=1}^m a_j$$

Como este:

$$(\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2) \sum_{j=1}^m a_j$$

o

$$\sum_{i=1}^n ((a_i+b)^2 \sum_{j=1}^m a_j)$$

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Supongo que la pregunta general estoy tratando de preguntar es doble:

• ¿Cuál es el orden de las operaciones por sumas?
• La búsqueda "Orden de operaciones" en Google no me ayuda a encontrar resultados interesantes. ¿Qué son las correctas de los términos de búsqueda?

Answer 1

Como se ha comentado después del primer párrafo de esta respuesta a una pregunta relacionada, la expresión

$$\sum_i c + d$$

es ambiguo. La convención habitual es: si el segundo término no dependen $i$ (la suma de índice) entonces no debería ser parte de la suma de $ (\sum_i c) + d$. En otros lugares (por supuesto) debe incluirse: $ \sum_i (c + d)$.

En tu ejemplo, este criterio de voto para su primera interpretación - y creo que esto está de acuerdo con la forma en que la mayoría de la gente aquí podría analizarlo:

$$\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2 + \sum_{j=1}^m a_j = \left(\sum_{i=1}^n (a_i+b)^2\right) + \sum_{j=1}^m a_j$$

Pero es mejor evitar la ambigüedad, y escribir de una manera diferente, de modo que la prioridad es clara.

Ver también aquí (en realidad, después de ver eso, me pregunto si esta pregunta debe ser cerrado como duplicados... )

Answer 2

Para el conjunto de la expresión de la primera interpretación es la correcta.

Para la primera expresión, se puede ver lo que está pasando si usted escribe la suma en puntos suspensivos: $$ \sum_{i=1}^n (a_i+b)^2 = (a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 + \cdots + (a_n + b_n)^2 . $$

La escritura de cantidades con puntos suspensivos es a menudo una buena estrategia para averiguar lo que se quiere decir.

Editar (en respuesta al comentario). La cuadratura se produce para cada suma, porque en el orden convencional de las operaciones, la exponenciación tiene prioridad sobre la suma. La escritura de la suma como una elipsis hace que la estructura sea más clara.

Edición en respuesta a editar la pregunta. La mayoría de los matemáticos leer las sucesivas sumas como entre paréntesis (su primer opiton).