Binomial negativo MGF converge a Poisson MGF

Question

Esta pregunta es el Ejercicio 3.15 en la Inferencia Estadística, por Casella y Berger. Se pide probar que la MGF de una Binomial Negativa $\mathscr{N}eg(r,p)$ converge a la MGF de Poisson $\mathscr{P}(\lambda)$ distribución, cuando $$r\to\infty\,, \quad p\to 1\,, \quad r(1-p)\to\lambda$$

La fórmula que tengo por la MGF de $X\sim \mathscr{N}eg(r,p)$ es:

$$M_X(t) = \frac{p^r}{[1-e^t(1-p)]^r}$$

Considerando sólo el denominador, tenemos $$[1-e^t(1-p)]^r = [1+\frac{1}{r}e^tr(p-1)]^r = [1+\frac{1}{r}e^t(-\lambda)]^r$$ As $r\to\infty$, this converges to $e^{-\lambda e^t}$. Now considering the entire formula again, and letting $r\to\infty$ and $p\a 1$, we get $e^{\lambda e^t}$, which is incorrect since the MGF of Poisson($\lambda$) is $e^{\lambda(e^t-1)}$. Me parece estar en el camino correcto, acabo de hacer un paso en falso en algún lugar. Puede alguien irregular mi error?

Answer 1

Cometes un error al ignorar$p^r$: si consideras tu MGF$$M_X(t) = \frac{p^r}{[1-e^t(1-p)]^r}\,,$ $ entonces$$\log\{M_X(t)\} = r\log(p)-r\log\{1-e^t(1-p)\}$ $ y usas las equivalencias asintóticas \begin{align*} r\log(p)-r\log\{1-e^t(1-p)\} &= r\log(1-[1-p])-r\log\{1-e^t(1-p)\}\\ &\approx -r[1-p]+re^t(1-p)\\ &\approx \lambda[-1+e^t] \end {align *} que muestra que el valor límite El MGF es$$ \exp\{\lambda[e^t-1]\}$ $ como se solicita en este ejercicio.

Nota: Hay dos versiones del MGF para un