La respuesta es "sí" en el caso especial de sharp monoids; es decir, monoids donde el único elemento invertible es 0. Para un fuerte integral monoid $P$, es una colección finita de indecomposible elementos, donde un elemento $x\in P$ es indecomposible si siempre $x = y+z$, entonces cualquiera de las $y=0$ o $z=0$.
En este caso, una cara $F \subseteq P$ determina un subconjunto de indecomposible elementos (es decir, la indecomposible elementos contenidos en $F$). Por lo tanto, es claro que $P$ tiene sólo un número finito de caras.
Desde cualquier submoniod $E$ satisfactorio (2) en una fuerte monoid es una cara, es suficiente para mostrar la siguiente: si tenemos dos submonoid $E_1, E_2$ satisfactorio (1) y (2), entonces su intersección $E_1 \cap E_2$ también satisface (1) y (2).
Escribir el indecomposible elementos de $P$$f_1,\ldots,f_n,e_1,\ldots,e_m$. Deje $f_1,\ldots, f_n, e_1,\ldots, e_\ell$ ser el indecomposible elementos asociados a $F_1$, e $f_1,\ldots f_n,e_p,\ldots, e_m$ ser el indecomposible elementos asociados a $F_2$ donde $1 \leq \ell < p \leq m$. Deje $F_0 = F_1 \cap F_2$, y deje $E_0$ ser el submonoid generado por $e_1, \ldots, e_m$. Claramente $F_0 + E_0 = P$.
Esto es suficiente para mostrar que si
$$ \sum_{i=1}^n n_i f_i + \sum_{i=1}^m m_i e_i = \sum_{i=1}^n n_i' f_i + \sum_{i=1}^m m_i' e_i$$
a continuación, ambos
$$ \sum_{i=1}^n n_i f_i = \sum_{i=1}^n n_i' f_i $$
y
$$ \sum_{i=1}^m m_i e_i = \sum_{i=1}^m m_i' e_i. $$
Por el cancellative regla, una implica la otra.
Debido a $E_1 \oplus E_1' \cong P$, podemos concluir que
$$ \sum_{i=1}^n n_i f_i + \sum_{i=1}^\ell m_i e_i = \sum_{i=1}^n n_i' f_i + \sum_{i=1}^\ell m_i' e_i. $$
Debido a $E_2 \oplus E_2' \cong P$, podemos concluir que
$$ \sum_{i=1}^p m_i e_i = \sum_{i=1}^p m_i' e_i. $$
Si añadimos $\sum_{i=\ell+1}^p (m_i + m_i') e_i$ a la parte superior de la ecuación, tenemos
$$ \sum_{i=1}^n n_i f_i + \sum_{i=1}^p m_i e_i + \sum_{i=\ell+1}^p m_i' e_i = \sum_{i=1}^n n_i' f_i + \sum_{i=1}^p m_i' e_i + \sum_{i=\ell+1}^p m_i e_i. $$
Por la segunda ecuación y la cancellative ley, vemos que
$$ \sum_{i=1}^n n_i f_i + \sum_{i=\ell+1}^p m_i' e_i = \sum_{i=1}^n n_i' f_i + \sum_{i=\ell+1}^p m_i e_i . $$
El uso de cualquiera de suma directa de descomposición, ahora podemos concluir que
$$ \sum_{i=1}^n n_i f_i = \sum_{i=1}^n n_i' f_i, $$
que es lo que tenía que demostrar.
Por lo tanto, la submonoid satisfactorio (1), (2) y (3) de arriba es la intersección de todos los monoids satisfactorio (1) y (2).
