Integración la UE

Question

Me gustaría integrar:

$$\ int {\ frac {dt} {\ mathrm {e} ^ {2 \, t} \, \ left (\ mathrm {e} ^ {t} + 1 \ right)}}$$

Pero no sé por dónde empezar.

Ideas?

La respuesta según mupad es

$$t + \ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {t}} - \ frac {1} {2 \, \ mathrm {e} ^ {2 \, t}} - \ ln \! \ left (\ mathrm {e} ^ {t} + 1 \ right)$$

Answer 1

$\displaystyle \frac{1}{e^{2t}(e^t+1)} = \frac{(e^t+1)-e^t}{e^{2t}(e^{t}+1)} = \frac{1}{e^{2t}}-\frac{(e^t+1)-e^{t}}{e^t(e^t+1)} = \frac{1}{e^{2t}}-\frac{1}{e^{t}}+\frac{1}{e^{t}+1}.$

Answer 2

Usted puede hacer esto como lo haría con un parcial de fracciones problema. Pensar $$\frac{1}{e^{2t}(e^t+1)}$$ como una función racional de la forma $$\frac{1}{u^2(u+1)}.$$ Haciendo fracciones parciales tenemos: $$\begin{align*} \frac{1}{e^{2t}(e^t+1)} &= \frac{A}{e^t} + \frac{B}{e^{2t}} + \frac{C}{e^{t}+1}\\ &= \frac{Ae^t(e^t+1) + B(e^t+1) + Ce^{2t}}{e^{2t}(e^t+1)}\\ &= \frac{(A+C)e^{2t} + (A+B)e^t + B}{e^{2t}(e^t+1)}. \end{align*}$$ Así que queremos $A+C=0$, $A+B=0$, y $B=1$. Por lo tanto, $A=-1$, $C=1$. Por lo tanto, $$\begin{align*} \int\frac{1}{e^{2t}(e^t+1)}\,dt &= \int\left(\frac{-1}{e^t} + \frac{1}{e^{2t}} + \frac{1}{e^t+1}\right)\,dt\\ &= -\int e^{-t}\,dt + \int e^{-2t}\,dt + \int\frac{1}{e^t+1}\,dt. \end{align*}$$ La primera de las dos integrales son una fácil sustitución. La tercera integral puede tomar un poco más de hacer, pero la configuración $u=e^t+1$, $du=e^t\,dt$ da $dt = \frac{1}{u-1}\,du$, por lo que usted puede hacer otro parcial de la fracción para obtener $$\int\frac{dt}{e^t+1} = \int\frac{du}{(u-1)u} = \int\left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}\right)\,du$$ que es fácil de hacer, dando la respuesta final una vez que todo está hecho.