Suma de series recursivas.

Question

Estoy tomando un curso de álgebra y este problema estaba en mi conjunto de problemas, y no tenía idea de cómo resolverlo.

Supongamos que tenemos una secuencia$s_n$ de números reales tal que$5s_{n+1}-s_{n}-3s_{n}s_{n+1}=1$ para$1 \leq n \leq 42$ y$s_1=s_{43}$.

¿Cuáles son los valores posibles de$s_1+s_2+ \ldots + s_{42}$?

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos$$s_{n+1} (5-3s_n) = 1 + s_n,$ $ por lo tanto en particular$s_n \neq 5/3$ para todos$n$ y por lo tanto$$\tag{1} s_{n+1} = \frac{1+s_n}{5-3s_n}.$ $ La asignación$$f(z) = \frac{z + 1}{-3z+5}$ $ es una transformación de Mobius. Se puede verificar que$$f^{(n)} (z) = \frac{az+ b}{cz+ d},$ $ donde$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 5\end{bmatrix}^n$ $ Haciendo un poco de álgebra lineal, tenemos$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}^{-1}$ $ Cuando$n=42$, tenemos (cálculos directos)$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3\cdot 2^{42} -4^{42} & -2^{42} + 4^{42} \\ 3\cdot 2^{42} - 3\cdot 4^{42} & 3\cdot 4^{42} - 2^{42} \end{bmatrix}$ $ Entonces el hecho de que$s_1 = s_{43}$ es lo mismo que$$s_1 = \frac{(3\cdot 2^{42}-4^{42}) s_1 +(-2^{42} + 4^{42})}{(3\cdot 2^{42} - 3\cdot 4^{42})s_1 + 3\cdot 4^{42} - 2^{42}}$ $ Según algunos cálculos,$$3s_1^2 - 4s_1 + 1 = 0\Rightarrow s_1= 1 \text{ or } \frac 13.$ $ Poner en$(1)$, obtenemos o bien$s_n = 1$ para todos$n$ o$s_n = \frac 13$ para todos$n$. Entonces$$s_1 + \cdots + s_{42} = 42 \text{ or } 14.$ $

Answer 2

Deje$u_n = {3s_n-1 \over 1-s_n}$ (a menos que$s_n=1$ que nos da la suma$42$). Entonces $u_{n+1} = {3{1+s_n \over 5-3s_n}-1 \over 1-{1+s_n \over 5-3s_n}} = {2 \over 4}{3s_n-1 \over 1-s_n} = {1 \over 2}u_n$; $u_{43}=u_1$ implica$u_1=0, s_1={1 \over 3}$.