Número complejo en forma polar

Question

Necesito aplazar este problema. Quiero asegurarme de que no he cometido algún error fundamental.

Convertir el número complejo $$-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}i$$ a forma polar.

Tomé el módulo de la siguiente manera,

$$\lvert-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}i \rvert = \sqrt{(\dfrac{-1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt 3}{2})^2} = 1$$

Y el argumento de la siguiente manera,

$$arg(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}i) = \tan^{-1} (\dfrac{\sqrt 3}{2} \times \dfrac{-2}{1}) = -60 = -\dfrac{\pi}{3}$$

Por lo tanto, el número complejo en forma polar es,

$$-\cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}$$

Pero, La respuesta requerida es $$\cos \dfrac{2\pi}{3} + i \sin \dfrac{2\pi}{3}$$

Pensé en convertir el -60 a positivo, como 360 - 60 = 300, es decir:- $$\dfrac{5\pi}{3}$$. Tengo la sensación de que estoy pasando por alto algo importante. ¿Pueden decirme dónde estoy cometiendo un error? ¡Gracias por toda su ayuda!

Answer 1

El problema es que los puntos pueden expresarse en forma polar de más de una manera. Mira el diagrama abajo:

Aquí está tu punto (en azul). Como puedas ver, está en el segundo cuadrante y el ángulo $\theta = \frac{2\pi}{3}$ lo atraviesa. Por lo tanto, se podría decir con precisión que la representación polar del punto es $r = 1, \theta = \frac{2\pi}{3}$, es decir, $$z = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$

No obstante, notarás que $\theta = -\frac{\pi}{3}$ representa el mismo ángulo, pero en dirección opuesta. Con esto en mente, también se podría decir con precisión que la representación polar del punto es $r = -1, \theta = -\frac{\pi}{3}$, es decir, $$z = -\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) - i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$

Debido a que $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ y $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$, estas dos representaciones polares son equivalentes. En otras palabras, no hay nada malo en concluir, como hiciste tú, que $\theta = -\frac{\pi}{3}$. Tú y la llamada "respuesta requerida" pueden discrepar razonablemente aquí y ambos estar correctos.

Pero aún así hiciste algo mal. Si decides utilizar $\theta = -\frac{\pi}{3}$, entonces también debes elegir $r = -1`, sin embargo, elegiste $r = 1`, basado en tu cálculo del módulo. ¿Cómo puedes evitar cometer este error en el futuro?

Sencillo: observa el cuadrante en el que se encuentra el punto. El punto $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ tiene parte real negativa y parte imaginaria positiva. Por lo tanto, debe estar en el segundo cuadrante. El ángulo $\theta = -\frac{\pi}{3}$ se extiende al cuarto cuadrante, así que si tienes la intención de utilizar ese ángulo, entonces también debes hacer que $r$ sea negativo.

Answer 2

Si dibujas la imagen, a menudo te señala en la dirección correcta. En la imagen puedes ver cómo está orientado el triángulo 30-60-90 y lo entenderás bien cada vez.

Answer 3

El problema está en cómo calculaste el argumento usando la arcotangente. El rango de la arcotangente es solo $(-\pi/2,\pi/2)$, por lo que no puedes obtener el rango completo de argumentos de esta manera. Tu número está en el segundo cuadrante, que produce los mismos valores tangentes que el cuarto cuadrante, y el argumento que calculaste está en el cuarto cuadrante. Necesitas sumar $\pi$ para obtener el argumento correcto.

Hay otro error, no relacionado: El coseno es par y el seno es impar, por lo que el signo negativo del argumento que calculaste debería haber aparecido frente al seno pero no frente al coseno; es decir, la forma polar correspondiente al argumento que calculaste es

$$\cos\frac{\pi}{3}-\mathrm i\sin\frac{\pi}{3}\;.$$

Answer 4

El problema es que olvidaste agregar $\pi$ al calcular el argumento. Consulta la página de wiki que muestra todas las fórmulas para calcular el argumento dependiendo de $x$ y $y.

Tomando $z=x+yi$ como tu número complejo, aquí $x$ es negativo y $y$ es positivo, así que $$ \text{arg}(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}i) = \tan^{-1} (\frac{\sqrt 3}{2} \times \frac{-2}{1})+\pi = -\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}. $$