Halla la fórmula de la secuencia $a(n)$

Question

Halla la fórmula de la secuencia $a(n)$ dadas por las siguientes relaciones de recurrencia y demostrar que la fórmula es correcta: $a(0) = 1, ~a(1) = -2,~ a(n) = -2a(n-1)-a(n-2)$

¿Cómo resolverlo? ¿No sé cómo empezar?

Answer 1

Sea $$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n$$ sea la función generadora de la sucesión $\left\{a_n\right\}_{0}^\infty$ . Entonces

$$\begin{align}f(x) &= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots \\ &= 1 -2x + (-2a_1 - a_0)x^2 + (-2a_2 - a_1)x^3 + (-2a_3 - a_2)x^4 + \dots\\ &= 1 - 2x + (-2x)(f(x) - a_0) + (-x^2)f(x)\\ &= 1 - 2x + 2x - 2xf(x) - x^2f(x)\\ &=1 - 2xf(x) - x^2f(x)\end{align}$$

así que con un poco de reordenación,

$$f(x) + 2xf(x) + x^2f(x) = 1$$ $$(1 + 2x + x^2)f(x) = 1$$ $$\begin{align}f(x) &= \frac{1}{1 + 2x + x^2}\\ &=\frac{1}{(1 + x)^2}\end{align}$$

Pero sabemos que

$$\frac{1}{1 + x} = 1 - x +x^2 - x^3 + x^4 - \dots$$

Diferenciando ambos lados,

$$-\frac{1}{(1 + x)^2} = -1 + 2x - 3x^2 + 4x^3 - \dots$$ $$f(x) = \frac{1}{(1 + x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots$$ $$a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots$$

Por lo tanto, comparando los coeficientes directamente,

$$a_n = (-1)^n (n + 1)$$

Answer 2

Sugerencia . La ecuación característica es $$ (x+1)^2=0 $$ por lo que el término general de la secuencia es $$ a_n=(\alpha\: n+ \beta)(-1)^n. $$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Así que tenemos la siguiente secuencia:

$$a_0 = 1$$ $$a_1 = -2$$ $$a_n = -2a_{n-1} - a_{n-2}$$

Una forma de encontrar la fórmula es seguir computando términos sucesivos y buscar patrones.

Sin embargo, en este caso tenemos una sucesión tipo Fibonacci, por lo que podemos encontrar un polinomio característico para esta sucesión.

Lo tenemos: $$a_n = -2a_{n-1} - a_{n-2}$$ $$x^2 = -2x - 1$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ $$(x+1)^2 = 0$$

Tenemos una doble raíz, $x = -1$

Por lo tanto, nuestra respuesta general es:

$$a_n = (-1)^n(an+b)$$

Ahora, observe que la secuencia produce $1, -2, 3, -4, \ldots$

Esto sigue a una $(n+1)$ -con una secuencia $(-1)^n$ para denotar nuestro signo negativo.

Por lo tanto, la respuesta final es: $$a_n = (-1)^n(n+1)$$

Answer 4

Sin ecuación característica:

Sólo conjeturo que

$$a_n=\begin{cases} n+1,&\text{ if } n \text{ is even}\\ -(n+1),&\text{ if } n \text{ is odd.} \end{cases}$$

Permítanme verificar mi conjetura con inducción matemática:

Para $n=2,3$ la hipótesis inductiva es cierta: $a_2=-2\cdot (-2)-1=3$ y $a_3=-6+2=-4$ .

Supongamos ahora que $n+1 $ es par. El $n$ es impar y $n-1$ es par. Así que..,

$$a_{n+1}=-2\cdot a_n-a_{n-1}=2\cdot (n+1)-n=n+2. $$

Sea $n+1$ ser impar. Entonces $ n$ es par y $n-1$ es impar otra vez. Así que..,

$$a_{n+1}=-2\cdot a_n-a_{n-1}=-2\cdot (n+1)+n=-(n+2).$$