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Mostrando una funciones continuas en un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^3$ se puede aproximar uniformemente por polinomios

$\displaystyle X= \left \{\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{6} \leq 1 \right \}$ es un conjunto compacto

Si $f(x,y,z)$ es continua en a $X$, entonces para cualquier $\epsilon \gt 0$, existe un polinomio $p(x,y,z)$ tal que $|f - p|\lt \epsilon$ $X$.

Tengo que probar esto y no tengo idea de cómo.

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Did Puntos 1

Aquí es una manera de exhibir los polinomios.

Primer paso: en la unidad de cubo Como ya se ha dicho por otras personas, si $f$ fue definida y continua en el cubo de $K=[0,1]^3$, una sencilla modificación de Bernstein de la construcción iba a hacer. Es decir, se podría aproximar $f$ $u=(x,y,z)$ $K$ por $$ E\left(f\left(\frac{X^u_1+\cdots+X^u_n}n\right)\right), $$ para un yo.yo.d. secuencia $(X^u_n)$ de variables aleatorias con media de $E(X_n^u)=u$ y apoyo en $K$. Por ejemplo, el uso de variables aleatorias de Bernoulli, la secuencia de polinomios $(B_n(f))$ convergen uniformemente a$f$$K$, con $$ B_n(f)(x,y,z)=\sum_{1\le i,j,k\le n}b^n_{i,j,k}(x,y,z)f\left(\frac{i}n,\frac{j}n,\frac{k}n\right), $$ donde $B_n(f)$ se basa en la primaria polinomios $b^n_{i,j,k}$, que se define como $$ b^n_{i,j,k}(x,y,z)={n\elegir i}x^i(1-x)^{n-i}{n\elegir j}y^j(1-y)^{n-j}{n\elegir k}z^k(1-z)^{n-k}. $$ Segundo paso: en otro cubo del mismo modo, para aproximar una función continua $f$ definido en $K_3=[-3,3]^3$, en cada punto de $(x,y,z)$ $K_3$ uno podría usar $$ B^{(3)}_n(f)(x,y,z)=\sum_{1\le i,j,k\le n}b^n_{i,j,k}\left(\frac{x+3}6,\frac{y+3}6,\frac{z+3}6\right)f\left(\frac{6i-3n}n,\frac{6j-3n}n,\frac{6k-3n}n\right), $$ Tercer paso: en los subconjuntos de un cubo Para cualquier $Y\subset K_3$ y cualquier función continua $f$$Y$, una idea obvia es utilizar el polinomio $B^{(3)}_n(g)$ donde $g:K_3\to\mathbb R$ está definido por $g(x,y,z)=f(x,y,z)$$Y$$g(x,y,z)=0$$K_3\setminus Y$. La función de $g$ no es continua en todas partes, pero $g$ es limitado y esto es suficiente para garantizar que el $B^{(3)}_n(g)(x,y,z)$ converge a $g(x,y,z)$ en cada punto de $(x,y,z)$ donde $g$ es continua. En particular, $B^{(3)}_n(g)(x,y,z)$ converge a $f(x,y,z)$ en cada punto de $(x,y,z)$ en el interior de $Y$. Uno que, además, puede mostrar que la convergencia es uniforme en cada conjunto compacto incluido en este interior.

Último paso: en $X$ Todo esto da lugar a la existencia de polinomios acercarse a cualquier función definida y continua en $X$, de manera uniforme en todos los $(1-t)X$. Ahora, si $f$ se puede extender a una función continua $\tilde f$ definido en $(1+t)X$ para un determinado positivo $t$, ya que el $X$ es un subconjunto compacto del interior de $(1+t)X$, aplicando el paso anterior a $\tilde f$ daría polinomios $B^{(3)}_n(\tilde g)$ aproximar $f$ uniformemente en $X$.

Para completar la prueba, ahora vamos a explicar cómo extender cualquier función continua $f:X\to\mathbb R$ a una función continua $\tilde f:K_3\to\mathbb R$ de tal manera que $\tilde f$ $f$ coinciden en $X$. Definir $\tilde f$ $u$ $K_3\setminus X$ como sigue. Iniciar un 3D el movimiento Browniano $(W^u_t)$ $W^u_0=u$ y considerar el golpear veces $\tau_X$ $\tau_K$ de los límites de $X$$K_3$, respectivamente, por $(W^u_t)$. A continuación, el tiempo aleatorio $\min\{\tau_X,\tau_K\}$ es casi sin duda finitos y se considera $$ \tilde f(u)=E(f(W^u_{\tau_X});\tau_X<\tau_K). $$ La continuidad de $\tilde f$ $K_3\setminus X$ y en el interior de $X$ son evidentes y su continuidad en el límite de $X$ es estándar. Esto completa la prueba.

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