La notación para la solución de a $y^y=x$.

Question

Deje $x$ ser un número real positivo.

• La solución a $y+y=x$ está escrito $$y=x/2.$$
• La solución a $y\cdot y=x$ está escrito $$y=x^{1/2}.$$
• Existe una notación para la solución de a $y^y=x$?

Answer 1

Hay una conocida función llama a la función W de Lambert, que se define para ser la inversa de a $xe^x$. Si $y^y = x$, luego $$\ln(y)e^{\ln(y)} = y\ln(y)=\ln(x) \implies$$ $$\ln(y) = W(\ln(x)) \implies$$ $$y = e^{W(\ln(x))}$$ No sé de cualquier función, simplemente para ser la inversa de a $x^x$, aunque, sin embargo, problemas como esto a menudo puede ser resuelto con la función W.

Nota: $xe^x$ $x^x$ no inyectiva en a $(0,\infty)$, así que tienes que ser cuidadoso acerca de las posibilidades de múltiples soluciones a estas ecuaciones.

Answer 2

Tomar registros: $$y\ln y=\ln x=\ln y\cdot e^{\ln y}$$ La definición de la función W de Lambert satisface $$W(\ln x)e^{W(\ln x)}=\ln x$$ Por lo tanto $$W(\ln x)=\ln y$$ $$y=e^{W(\ln x)}=\frac{\ln x}{W(\ln x)}$$ Cualquier expresión que relaciona un aumento exponencial de una variable con una función lineal de la misma variable es susceptible de solución a través de Lambert, W. en efecto, que tales expresiones de pop-up en muchas ecuaciones de física, especialmente los relativos a la mecánica cuántica.

Answer 3

Como otros han dicho, el $W$ función de los rendimientos de la respuesta correcta a la pregunta que usted me hizo. Una relacionada con la secuencia es esta: $$2+y=x\implies y=x-2$$ $$2\cdot y=x\implies y=x/2$$ $$2^y=2\uparrow y=x\implies y=\log_2(x)$$ $$\underbrace{2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}}_{y}= 2\uparrow \uparrow y=x\implies y=\text{slog}_2(x)$$ donde $\text{slog}$ es un superlog: https://en.wikipedia.org/wiki/Super-logarithm