Para la matriz de $A$, se ha encontrado que sólo tenemos un único autovalor, $\lambda = 1$, con una multiplicidad de $m = 3$.
Definir y encontrar el espacio nulo de a $[A-\lambda I]v_i = 0$ con los dos vectores propios linealmente independientes:
$$v_1 = (-2, 1, 0), v_2 = (3,0,-1)$$
Lamentablemente, no podemos encontrar un tercer linealmente independientes autovector por la configuración:
$$[A - I]v_3 = v_1 ~ \mbox{or}~ [A-I]v_3 = v_2.$$
En ambos casos, ¿cómo se llama esto?
Un enfoque para encontrar tres linealmente independiente de vectores propios es encontrar una cadena de vectores propios generalizados. Calculamos:
$$[A-I]^2 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3\end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
Esto ya nos dice que debemos ser capaces de encontrar cadenas de longitud $2$, pero también podemos calcular (ya sabemos que es todo ceros):
$$[A-I]^3 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
Desde $[A-I]^3 = 0$ es la matriz cero, luego cada tres dimensiones del vector será una solución a la ecuación de $[A-I]^3 v = 0$. No hay restricciones, por lo que somos libres para elegir los tres vectores linealmente independientes:
$$v = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$$
Estas son las tres soluciones a $[A-I]^3 v = 0$, pero no una cadena de vectores propios generalizados!
Ahora, tomamos un vector a partir de la lista de arriba, dicen que la tercera, y mantener la multiplicación de la matriz $[A-I]$ con el vector resultante y generar la siguiente cadena:
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -3\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$$
Esto nos da una cadena de longitud $2$.
Nota: Repita este proceso con los otros dos vectores de arriba y usted encontrará que cada uno genera una cadena de longitud $2$. Lo ideal es que nos hubiera gustado encontrar una cadena de longitud $3$. A veces, sólo podemos obtener una cadena de longitud $1$.
Así, ahora tenemos los dos linealmente independientes y generalizado de los vectores propios:
$$v_1 = (0, 0, 1), v_2 = (3,3,-3)$$
También tenemos los otros dos vectores propios que encontramos anterior, por lo que son libres para elegir:
$$v_3 = (-2, 1, 0) ~~ \mbox{or}~~ v_3 = (3,0,-1)$$
Ahora podemos formulario de $P$ como una combinación lineal como:
$$P = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 0\end{bmatrix} ~~ \mbox{or}~~ P = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -3 & 1\end{bmatrix}$$
Nota, repita este proceso con los otros dos vectores y ver cómo muchas opciones que usted tiene para formar $J = P^{-1}AP$. También tenga en cuenta que usted podría haber utilizado diferentes autovector generalizado como el tercer vector propio, por lo que tiene un montón de opciones. También se nota la diferencia en $J$ para las diferentes opciones de que inicial el vector!
Recomiendo buscar en la web para obtener más ejemplos y variaciones así que usted puede practicar este método y ya me apuntado a un ejemplo. Algunos otros son:
Actualización
Tenga en cuenta que el orden en que se elija para los vectores en $P$ impactos de la ubicación del bloque de Jordan. Puesto que usted desea:
$$J=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}$$
Usted puede elegir (sólo de intercambio de columna $1$ $3$ de la primera $P$ por encima de, por ejemplo) por lo tanto tenemos:
$$P = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{bmatrix}$$
Ahora:
$$J = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Usted puede hacer lo mismo con los demás.
Actualización 2
Puesto que usted desea:
$$J=\begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}$$
Usted puede elegir:
$$P = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 0 \end{bmatrix} ~~\mbox{or}~~ \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$
Ahora:
$$J = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Usted podría revisar las propiedades de la Forma Normal de Jordan que decirle cuántas posibles FONDO hay por autovalor y algebraica multiplicidad. También, es posible averiguar el posible FONDO de formularios sin tener que hacer todo este trabajo. Vea el FONDO de la Singularidad.
Intente esto con los otros dos conjuntos de vectores que se encuentran originalmente!
