Simplificación de una sustitución en u para $\int \frac{x} { \sqrt {4-3 x^4 } } \, dx$

Question

Este es un problema de cálculo uno que no puedo resolver. Puede que esté haciendo una simple suposición en mis sustituciones, por favor ayuda. (Espero haber escrito esto correctamente, es la primera vez que uso el formato de MathJaX). Gracias.

$\int \frac{x} { \sqrt {4-3 x^4 } } \, dx$

Dejo que $u = 3 x^4$ entonces $du = 12 x^3$ . A continuación, utilicé $\sqrt{u} = \sqrt{3} x^2$ . Al sustituirla, he obtenido la siguiente integral, que no sé cómo simplificar:

$\frac{1}{12} {\int \frac{\sqrt{3}} {\sqrt{u} \sqrt{4-u}}} \, du$

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

En principio, no intentemos hacer la "mejor" sustitución, sólo algo que haga que las cosas se vean mejor. Dejemos que $u=x^2$ . ¿Por qué? Porque la derivada de $x^2$ está básicamente sentado en la parte superior, y el resto es una función de $x^2$ .

Así, $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Nuestra integral se convierte en $\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{4-3u^2}}\,du$ . Todavía no está terminado, pero el progreso, usted probablemente ha visto algo como esto antes, y saber cómo manejarlo.

Observación: En retrospectiva, podríamos hacer la sustitución $\sqrt{3}\,x^2=2u$ y luego la cosa se derrumba inmediatamente.

Answer 2

$$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{4-3x^4}} = \int\frac{x\, dx}{\sqrt3\sqrt{\frac43-x^4}}$$

Prueba a utilizar la sustitución trigonométrica: deja que $$x^2 = \sqrt {\frac 43} \sin \theta \implies 2x\,dx = \sqrt{\frac 43}\cos \theta$$

Eso nos da la integral $$\frac 23 \int \dfrac{\cos \theta \,d\theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

$$\int\frac{x\ dx}{\sqrt{4-3x^4}}=\int\frac{x^3\ dx}{x^2\sqrt3\sqrt{\frac43-x^4}}$$

Establecer $x^2=u$ o $\sqrt{\frac43}\sin\theta$

Answer 4

1. deshacerse de la fracción ...

$$1/x = x^-1$$

...así que...

$$\frac {x}{\sqrt{4-3x^4}} = x\sqrt{4-3x^4}^{-1}$$

2. deshacerse de la raíz cuadrada ...

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

...así que...

$$x\sqrt{4-3x^4}^{-1} = x(4-3x^4)^{-1/2}$$

3. La versión simplificada de la sustitución en u es ...

$$\frac {k}{u'} * \frac {u^{n+1}}{n+1}+C$$

... sus variables son ...

$$k = x$$ $$u = 4-3x^4$$ $$u' = -12x^3$$ $$n = -1/2$$ $$n + 1 = -1/2 + 2/2 = 1/2$$ así que...

$$\frac {x}{-12x^3} * \frac {u^{\frac 12}}{\frac{1}{2}} + C$$

...x encima se anula, y dividir por 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2/1...

$$\frac {1}{-12x^2} * (2 * u^{\frac 12}) + C$$

... multiplicar todo junto ...

$$\frac {2u^{\frac 12}}{-12x^2}+C$$

... simplificar ...

$$\frac {u^{\frac 12}}{-6x^2}+C$$

... sustituye a tu u ...

$$\frac {(4-3x^4)^{\frac 12}}{-6x^2}+C$$

... voltear su numerador a una raíz cuadrada ...

$$\frac {\sqrt{4-3x^4}}{-6x^2}+C$$

... podemos intentar simplificar un poco la raíz cuadrada, ya que 4 es sólo $2^2$ y $\sqrt{x^4} = x^2$

$$\frac {\sqrt{2^2-3x^4}}{-6x^2}+C$$ $$\frac {2+x^2\sqrt{-3}}{-6x^2}+C$$

...ya que tenemos el $x^2$ ahora, podemos cancelar con el denominador...

$$\frac {2+\sqrt{-3}}{-6}+C$$

... la raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, por lo que habría que darle la vuelta a las cosas para deshacerse de él para una mayor simplificación. Sin embargo, acabamos de simplificar la x de la ecuación, así que lo único que quedaría es resolver C (la constante).

(Nota al margen, estoy en la universidad y cursando cálculo ahora. Acabamos de entrar en la sustitución de u, y me di cuenta de que en casos como el anterior la fórmula se reduce a k / u' * (u^n+1 / n+1). "k" es cualquier parte fuera de "u^n" ... por ejemplo: 600x(4x+1)^2 ... "k" = 600x, u = 4x+1, u' = 4). Básicamente, en lo que respecta a la simple sustitución de u, estás tomando partes de la función fuera de la u^n, y dividiéndolas por la u'. Si no hay parte "k" entonces k=1 ... ej: (3x^2 + 5)^7 ... es lo mismo que 1 * (3x^2 + 5)^7 ... entonces k = 1 / u' ... o 1 / 6x en este caso).