¿Por qué es este vector campo bien definido?

Question

$\newcommand{\IP}[2]{\left\langle #1,#2 \right\rangle}$ $\newcommand{\de}{\delta}$

Deje $M$ ser un colector de Riemann, y deje $e_i$ ser un marco para $TM$. También podemos elegir algunos fijos formas diferenciales $\omega \in \Omega^k(M),\eta \in \Omega^{k+1}(M)$. Considere el siguiente campo vectorial:

$$ X=\IP{e^i \wedge \omega }{\eta}e_i \etiqueta{1} $$

(El producto interior en los formularios es la inducida por la métrica en $M$).

Puedo reclamar $X$ está bien definido, yo.e no depende de la imagen seleccionada $e_i$.

Hay un "conceptual" a prueba para que?

Tengo una prueba de que no es nada sino una rutina de cálculo (ver más abajo), pero me pregunto si hay una mejor explicación de por qué esta "magia" que sucede.

(Por CIERTO, este vector de campo, o más precisamente su divergencia, surge de forma natural cuando tratando de calcular una fórmula para la coderivative).

La integridad, aquí está mi prueba:

Deje $f_i$ ser un marco diferente para $TM$, y deje $f^j,e^i$ ser el doble de las bases de $f_j,e_i$ respectivamente. Escribir $$ f_i=A_i^{j}e_j,f^i=B_j^i^j. $$ Pretendemos $A=B^{-1}$. De hecho, $$ \de^i_k= f^i(f_k)=B_j^ie^j(A_k^se_s)=B_j^iA_k^s\de^j_s=\sum_j B_j^iA_k^j=(BA)_{ik}. $$ Así, $$ \begin{split} \IP{f^i \wedge \omega }{\eta}f_i &=\IP{ B_j^i e^j \wedge \omega }{\eta}A_i^{k}e_k=A_i^{k}B_j^i\IP{ e^j \wedge \omega }{\eta}e_k=(AB)^k_j\IP{ e^j \wedge \omega }{\eta}e_k \\ &=\de^k_j\IP{ e^j \wedge \omega }{\eta}e_k= \IP{e^i \wedge \omega }{\eta}e_i. \end{split} $$

Editar:

Aquí es un resumen de Andreas y levap sugerencias:

Deje $V$ ser un verdadero espacio vectorial.

Fix $\omega \in \Lambda^{k} V^*,\eta \in \Lambda^{k+1} V^*$.

Mira la bilineal mapa: $V^* \times V \to \Lambda^{k+1} V^* \otimes \Lambda^{k+1} V^* \otimes V$ definido por

$$(\hat{\omega}, v) \to \eta \otimes (\hat{\omega} \wedge \omega) \otimes v.$$

Este mapa induce lineal mapa de $\Phi:V^* \otimes V \to \Lambda^{k+1} V^* \otimes \Lambda^{k+1} V^* \otimes V$,

$$\Phi(\hat{\omega}\otimes v) := \eta \otimes (\hat{\omega} \wedge \omega) \otimes v.$$

Ahora, poner un producto interior en $\Lambda^{k+1} V^*$ (que puede ser inducida por un producto en $V$ de una manera natural, o no, no importa). Este producto, que por definición es un bilineal mapa de $\Lambda^{k+1} V^* \times \Lambda^{k+1} V^* \to \mathbb{R}$ induce lineal mapa $ \Lambda^{k+1} V^* \otimes \Lambda^{k+1} V^* \to \mathbb{R}$. Por tensoring con el mapa de identidad $\text{Id}_V$ tenemos

$$ \Psi: \Lambda^{k+1} V^* \otimes \Lambda^{k+1} V^* \otimes V \to \mathbb{R} \otimes V \cong V , \tag{2}$$ dada por

$$ \Psi (\eta_1 \otimes \eta_2 \otimes v)=\IP{\eta_1}{\eta_2}v. \tag{3}$$

Ahora, tenga en cuenta que para cualquier base $e_i$ $V$, $$e^i \otimes e_i = \text{Id}_V, \tag{4}$$ where $e^i$ is the dual basis for $e_i$, and we have used the canonical identification $V^* \otimes V \cong \text{Hom}(V,V)$.

Este es el hecho de que, que vale para cualquier fotograma $e_i$, que se encuentra en el corazón de la "independencia" del campo vectorial definido en $(1)$.

De hecho,

$$ \Phi(\text{Id}_V)=\Phi(e^i \otimes e_i) = \eta \otimes (e^i \wedge \omega) \otimes e_i,$$ y

$$ \Psi \circ \Phi:\text{Hom}(V,V) \to V.$$

Por último, la definición de $(1)$ no es nada, pero la configuración de

$$ X:=\Psi \circ \Phi (\text{Id}_V)=\Psi\big(\eta \otimes (e^i \wedge \omega) \otimes e_i\big)=\IP{\eta }{e^i \wedge \omega }e_i.$$

Answer 1

La explicación conceptual es que hay una bilineal mapa de $\Lambda^k\mathbb R^{n*}\times\Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\to\mathbb R^n$ $O(n)$- equivariant y por lo tanto define la correspondiente operación natural de Riemann colectores. Su cálculo realidad muestra equivariancy de este mapa (y el hecho de que las cosas dependen de un punto de no juega ningún papel en la que la computación). También puede ver esto sin cálculo mediante la observación de que $\Lambda^k\mathbb R^{n*}\cong\Lambda^k\mathbb R^n$, hay un emparejamiento $\Lambda^k\mathbb R^n\times \Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\to\mathbb R^{n*}$ (por inserción, por lo tanto, incluso, $GL(n,\mathbb R)$- equivariant) y que $\mathbb R^{n*}\cong\mathbb R^n$. En realidad es sólo el último isomorfismo que se expresa en términos de una base ortonormales.

Edit: El emparejamiento $\Lambda^k\mathbb R^{n*}\times\Lambda^k\mathbb R^n\to\mathbb R$ es, de hecho, $GL(n,\mathbb R)$- equivariant con el grupo que actúa sobre ambos factores en el lado izquierdo y trivialmente en $\mathbb R$. El cálculo en su respuesta no funciona ya que tiene la acción sobre un factor de mal. Lo que usted necesita es$A\cdot (v_1\wedge\dots\wedge v_k)=(Av_1)\wedge\dots\wedge (Av_k)$, pero la interpretación de $\eta$ como multilineal mapa, la acción correcta es $(A\cdot\eta)(v_1,\dots,v_k)=\eta(A^{-1}v_1,\dots,A^{-1}v_k)$. De este modo, el equivariancy es obvio.

Con respecto a la construcción general del mapa, mi descripción no era estrictamente paralela a la fórmula para el mapa que has utilizado (me pasa por alto que estaba utilizando un marco general y su doble en lugar de una ortonormales marco). De todos modos, la descripción que utilizan es mejor formulada de la siguiente manera: Hay un $GL(n,\mathbb R)$-equivariant mapa de $\Lambda^k\mathbb R^{n*}\to \Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\otimes\mathbb R^n$. Esto se da por primera tensorizing con la identidad y, a continuación, la aplicación de la cuña de producto. Así que en términos de la doble bases de $\{e_i\}$$\mathbb R^n$$\{e^i\}$$\mathbb R^{n*}$, esto se da por $$ \omega\mapsto \estilo de texto\sum_ie^i\otimes \omega\otimes e_i\mapsto \estilo de texto\sum_ie^i\wedge\omega\otimes e_i. $$ (Si usted se pregunta acerca de la sucesión de los factores, esto sólo significa un total de signo, que no influyen en equivariancy.) Agotar el producto tensor con la identidad, se obtiene un mapa de $\Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\otimes \Lambda^k\mathbb R^{n*}\to \Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\otimes \Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\otimes\mathbb R^n$. A través del producto interior, se obtiene un $O(n)$-equivariant mapa de los dos primeros factores en este producto tensor a $\mathbb R$, y a través del producto tensor con la identidad, esto induce una $O(n)$-equivariant mapa de $\Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\otimes \Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\otimes\mathbb R^n\to\mathbb R\otimes \mathbb R^n\cong \mathbb R^n$. La composición de este con el de arriba te da la deseada $O(n)$-equivariant mapa que estábamos buscando.

Answer 2

A la luz de tensor de cálculo, $\IP{e^i \wedge \omega}{\eta}$ ser lineal en el mapa de $TM^* \to \bigsqcup_{p\in M} \mathbb R$ define un tensor $\IP{\omega}{\eta}^i$. La parte superior del índice de $i$, a continuación, cancela el menor índice de $i$$e_i$, resultando en una cantidad que es invariante bajo cambios de base.

Answer 3

Estoy escribiendo algunos de los detalles de Andreas Tapa de la respuesta.

Parte 1:

Definir $F:\Lambda^k\mathbb R^{n*}\times\Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\to\mathbb R^n$ por

$$ F(\omega,\eta)=\IP{e^i \wedge \omega }{\eta}e_i, \tag{1}$$

donde $e_i$ es el estándar de la base de $\mathbb{R}^n$. Definir una acción de $O(n)$ $\Lambda^k\mathbb R^{n*}$ por $(Q,\omega) \to Q\omega$, $Q \in O(n),\omega \in \Lambda^k\mathbb R^{n*}$, dada por

$$ (Q \omega)(v_1,\dots,v_k)= \omega (Qv_1,\dots,Qv_k).$$ This action extends naturally to the product $\Lambda^k\mathbb R^{n*}\times\Lambda^{k+1} \mathbb R^{n*}$, actuando en ambos componentes.

Por supuesto, $O(n)$ también actúa en $\mathbb R^n$ en forma natural.

Lema: $F$ $O(n)$- equivariant.

Prueba:

La prueba se sigue del hecho de que la definición de $F$ $(1)$ da el mismo mapa cuando la sustitución de $e_i$ con cualquier otro ortonormales .

En efecto, supongamos que esta base de la independencia; luego

$$F(Q\omega,Q\eta)=\IP{e^i \wedge Q\omega }{Q\eta}e_i=\IP{Qe^i \wedge Q\omega }{Q\eta}Qe_i=\IP{Q(e^i \wedge \omega) }{Q\eta}Qe_i=\IP{e^i \wedge \omega }{\eta}Qe_i=Q(\IP{e^i \wedge \omega }{\eta}e_i)=QF(\omega,\eta),$$

donde hemos utilizado el hecho de que el $O(n)$-acción en $\Lambda^k\mathbb R^{n*}$ es una acción isometrías (es decir, preservar la norma en $\Lambda^k\mathbb R^{n*}$).

Parte 2:

Estoy tratando de entender Andreas la siguiente observación. El dice que existe un $GL(n)$-equivariant mapa $$H:\Lambda^k\mathbb R^n\times \Lambda^{k+1}\mathbb R^{n*}\to\mathbb R^{n*},$$

definido por por la inserción. Este es el mapa $$\big( H(v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k ,\eta)\big)(X) \to \eta(v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k \wedge X).$$

Ahora, cuando intento comprobar $GL(n)$-equivariancy, me golpeó un problema: Vamos a $A \in GL(n)$; a continuación,

$$ H(A(v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k) ,A\eta)(X)=A\eta(Av_1 \wedge Av_2 \wedge \dots \wedge Av_k \wedge X)=$$

$$ \eta(A^2v_1 \wedge A^2v_2 \wedge \dots \wedge A^2v_k \wedge AX) \neq \eta(v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k \wedge AX)=H(v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k ,\eta)(AX)=\big( AH(v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k ,\eta)\big)(X).$$

Quizás $GL(n)$ sólo actúa sobre uno de los factores?