Lo anterior parece intuitivamente cierto, (donde $|a|$ se refiere al valor absoluto de $a$ ), pero me cuesta demostrarlo - estaría muy agradecido si me dieran una prueba o una referencia.
Por desgracia, no es cierto, así que no llegarás muy lejos intentando demostrarlo.
Los contraejemplos son fáciles de encontrar.
Imagina $X\sim U(-1,1)$ y $Y=X+1$
$\text{Cov}(X,Y) = \text{Var}(X)=1/3$
Tenga en cuenta que $|Y|=Y$
Así que $\text{Cov}(|X|,|Y|)= \text{Cov}(|X|,Y)$
pero por la simetría de $X$ sobre $0$ y, por tanto, el hecho de que la relación entre $|X|$ y $Y-E(Y)$ es una función par, podemos ver que $\text{Cov}(|X|,Y) = 0$ .
Así que, como se ha dicho, no es así; generemos algunos datos que ilustren el sentido general de lo que quiero decir:
Necesitas desesperadamente mejorar tu intuición en probabilidad. Según mi respuesta en stats.stackexchange.com/questions/33776/ Te recomiendo que compres y leas al menos los 6 primeros capítulos (primeras 218 páginas) de William J. Feller "An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2" amazon.com/dp/0471257095/ref=rdr_ext_tmb . Por lo menos lee todos los Problemas para la Solución, y preferiblemente intenta resolver todos los que puedas. No es necesario que hayas leído el Vol 1, que en mi opinión no tiene especial mérito.
Ciertamente no es mi mejor momento. Gracias por la referencia, parece que una lectura me vendrá bien, le echaré un vistazo.
Un ejemplo algo más extremo, dejemos $a \equiv b$ se distribuya como $$\mathbb{P}(a = 1) = \mathbb{P}(a = -1) = 1/2.$$
Entonces $\text{Cov}(a, b) = \text{Cov}(a, a) = \text{var}(a) = 1$ , mientras que, $\text{Cov}(\left|a\right|, \left|b\right|) = \text{Cov}(1, 1) = 0$ . Por tanto, la conjetura no es cierta.
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