Parte positiva del núcleo

Question

Deje $(E,\mathscr E)$ ser un espacio medible y $Q:E\times \mathscr E\to\Bbb [-1,1]$ ser firmado delimitada núcleo, es decir, $Q_x(\cdot)$ es finito, medida en $(E,\mathscr E)$ cualquier $x\in E$ $x\mapsto Q_x(A)$ es una función medible para cualquier conjunto $A\in \mathscr E$.

Para cualquier fija $x$, vamos a la medida de $Q^+_x$ ser una parte positiva de la firma de medida $Q_x$ como en el de Hahn-Jordan descomposición. Es cierto que $Q^+$ es un kernel, es decir, es la función de $x\mapsto Q_x^+(A)$ medibles para cualquier $A\in \mathscr E$? Se sostiene claramente si $Q$ es una parte integral del núcleo, pero estoy interesado en el caso general.

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Actualización: después de tres semanas y 1 recompensa que me decidí a publicar esta pregunta también en MO

Answer 1

He aquí otra prueba, tomada de "Cadenas de Markov" por D. Revuz (lema 1.5 página 190), siempre bajo el supuesto de que $(E, \mathscr{E})$ es countably generado.

La siguiente respuesta es casi una paráfrasis de la prueba de Revuz.

Por supuesto, hay una secuencia finita de particiones $\mathscr{P}_n$$E$, de tal manera que $\mathscr{P}_{n+1}$ es un refinamiento de la $\mathscr{P}_n$, e $\mathscr{E}$ es generado por $\cup_{n \ge 0} \mathscr{P}_n$. Para cada $x \in E$, no existe un único $E_n^x \in \mathscr{P}_n$$x \in E_n^x$.

Deje $x \in E$ ser solucionado por el momento. Definir $\lambda_x$ la probabilidad de medir que es un múltiplo de a $|Q_x|$. (si $Q_x = 0$, elija como desea)

A continuación, defina una función $f_n$ $E$ $\displaystyle f_n(y) = \frac{Q_x(E_n^y)}{\lambda_x(E_n^y)}$ si $\lambda_x(E_n^y) > 0$ $f_n(y) = 0$ lo contrario.

Por martingala teorema de convergencia, tenemos que $f_n$ converge $\lambda_x$ -.s. a la densidad de $Q_x$ con respecto al $\lambda_x$. Por lo tanto $f_n^+$ converge $\lambda_x$ -.s. a la densidad de $Q_x^+$, y desde $f_n$ son uniformemente acotada, tenemos para todos $A \in \mathscr{E}$ : $$Q_x^+(A) = \lim_n \int_A f_n^+ \, d \lambda_x$$

Ahora, si $A \in \mathscr{P}_k$, entonces para todos $n > k$, $\int_A f_n^+ \, d \lambda_x = Q_{x,n}^+(A)$, donde $Q_{x,n}^+$ es la parte positiva de la restricción de $Q_x$ $\sigma$- álgebra generada por $\mathscr{P}_n$. Es fácil ver que el mapa de $x \to Q_{x,n}^+(A)$ es medible, y así es el mapa de $x \to Q_x^+(A)$.

Tenemos por lo tanto demostrado que $x \to Q_x^+(A)$ es medible para cada $A \in \cup_{n \ge 0} \mathscr{P}_n$, y, a continuación, un Dynkin clase de argumento termina la prueba.

Answer 2

La siguiente respuesta se basa en conjuntos Medibles de medidas por Dubins y Freedman, que fue sugerido en un comentario en el mes de versión de esta pregunta por Jochen Wegenroth.

El resultado es cierto en el supuesto de que $(E,\mathscr E)$ es countably generado. El álgebra generada por una contables conjunto es contable, por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que hay una contables álgebra $\mathscr{A}$$\mathscr{E}=\sigma(\mathscr{A})$. Ya que la diferencia de dos funciones medibles es medible, no es suficiente para mostrar que $Q^+$ es un kernel.

Para todos los $x\in E$$B\in\mathscr{E}$, $$Q_x^+(B)=\sup_{A\in\mathscr{E}, A\subseteq B} Q_x(A).$$ Deje $\lambda\in [0,1]$. Tenemos $$\{x:Q_x(B)^+<\lambda\}=\bigcup _{A\in\mathscr{E}, A\subseteq B}\{x:Q_x(A)<\lambda\}.$$ Now the union on the righthand side is generally over an uncountable set. But for each $x\in E$, $B\in\mathscr{E}$, and $\epsilon>0$ there is $\en\mathscr{A}$ such that $Q_x(B\triángulo)<\epsilon$. It follows that $$\bigcup _{A\in\mathscr{E}, A\subseteq B}\{x:Q_x(A)<\lambda\}=\bigcup _{A\in\mathscr{A}}\{x:Q_x(A\cap B)<\lambda\}.$$