Estructuras de grupo no-isomorfo a un Grupo topológico

Question

Que Topológicos, Grupos Tienen una Única Estructura de Grupo (hasta el isomorfismo)?

Sé que hay muchos que no son isomorfos grupos finitos de la misma orden, por lo que hay muchas estructuras posibles para discretos finitos conjuntos bajo la topología discreta (en cuyo caso todas las funciones continuas).

Por otro lado $\Bbb R$ $S^1$ parecen tener una única estructura de grupo (adición y complejo de la multiplicación). (véase también la Estructura de Grupo en la $\Bbb R$)

Así que, básicamente, lo que quiero saber es que si $(X,.)$ $(Y,.)$ son espacios topológicos con las operaciones del grupo $.$, entonces bajo qué supuestos es cierto que si $X$ es homeomórficos a $Y$(como un espacio topológico), a continuación, $X$ isomorfo a $Y$(como un grupo)?

Answer 1

Me limitaré sólo a Mentir grupos, ya que el mundo de los grupos de fuera de esta clase es muy grande y, no creo, hay una buena respuesta en este contexto. Yo también restringir simplemente conectados a la Mentira de los grupos, de modo que la respuesta es razonablemente limpio. (Esta no es una muy buena razón, pero esto va a mantener mi respuesta razonablemente breve, yo no creo que a través de los detalles en los que no sea simplemente conectado caso de que tendrá que requieren algún caso difícil-por-análisis de casos: Si usted realmente quiere encontrar la respuesta en este caso, usted tendría que hacerlo usted mismo o pedirle a alguien más que tenga más tiempo libre.)

He de decir que una Mentira grupo $G$ es rígido si cada Mentira grupo homeomórficos a $G$ es en el hecho de isomorfo a $G$.

Ahora, vamos a aplicar algunos de los resultados estructurales de la Mentira de los grupos en este contexto. Cada simplemente conectado a Mentir grupo tendrá la de Levi-Malcev descomposición $$ G= S \rtimes H, $$ donde $S$ es solucionable, y simplemente se conecta y $H$ está conectado y tiene semisimple Mentira álgebra. A continuación, $S$ es homeomorpbic a algunos ${\mathbb R}^n$ y, por lo tanto, si $n\ge 2$ $S$ no cuenta única Mentira de la estructura del grupo (se puede utilizar ya sea conmutativa o solucionable, no conmutativa). Ya que siempre puede utilizar trivial acción de $H$ $S$ sin cambiar la topología de semidirect producto, se deduce que el $G$ no puede ser rígido si $n\ge 2$. Si $n=1$ $H$ tiene que actuar trivialmente en $S$ ($H$ está conectado, semisimple y, por lo tanto, sólo tiene trivial caracteres) y, por lo tanto, $G\cong {\mathbb R}\times H$. Por lo tanto, en ambos casos $n=0, n=1$ el problema se reduce a la rigidez de los grupos $H$.

Caso 1. $H$ es compacto. Luego encontré navegando por este mathoverflow post que $H$ tiene que ser rígido. Por la compacidad de $H$ también es claro que la $G$ es rígido como en el presente caso.

Caso 2. $H$ es noncompact. Si $H$ pasa a tener finito centro, a continuación, tiene la Iwasawa descomposición $H= U\cdot K$ donde $K$ es máxima compacto subgrupo en $H$ $U$ es solucionable y homeomórficos a $R^m$ algunos $m\ge 2$; en particular, $H$ es homeomórficos a ${\mathbb R}^m\times K$. (Algebraicamente, esto no es un producto!) Claramente, también podemos dotar a ${\mathbb R}^m\times K$ con la estructura algebraica del contacto directo con el producto, por lo tanto, $H$ no puede ser rígida; por lo tanto, $G$ no es rígida. Esto nos deja con el caso de infinito discreto centro. (El estándar de ejemplo para pensar en la universalización de la cobertura de $SL(2, {\mathbb R})$.) Sin embargo, cada una de dichas $H$ puede ser dividido por una discreta central subgrupo $Z<H$, de tal manera que $Q=H/Z$ ha trivial centro. Entonces, podemos aplicar el mismo razonamiento que arriba a la conclusión de que la $Q$ no es rígida y, a continuación, levante la modificación de la estructura de grupo de Lie a la cobertura de espacio de $H$ ( $Q$ ) a la conclusión de que la $H$ es de nuevo no rígido.

Por lo tanto, la conclusión es que simplemente conectado a Mentir grupo $G$ es rígido si y sólo si lo es, ya sea compacta o un producto de un grupo compacto y ${\mathbb R}$.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario. En cualquier caso, creo que la respuesta podría depender de su formulación. Puedo ver dos maneras de interpretar su pregunta. Supongamos $X$ $Y$ son topológicos, grupos, homeomórficos como espacios topológicos. Son necesariamente isomorfo como

1. resumen de los grupos?
2. topológico grupos?

Obviamente, 2 implica 1. Creo que la segunda pregunta es la más interesante. No sé si este hecho va a provocar una respuesta, pero todos separables (infinito dimensional) espacios de Banach son homeomórficos como espacios topológicos. Son isomorfos como verdaderos espacios vectoriales para la cardinalidad de los motivos por los que me creen, así como abstact grupos, pero creo que no son isomorfos como topológica de los grupos (esto es sólo mi suposición.)

Una observación adicional es que su observación en los diferentes grupos topológicos lleva más discretos topológicos, grupos de cualquier cardinalidad. Por lo $\Bbb Z$$\Bbb Q$, tanto dotado de la topología discreta, son isomorfos como espacios topológicos, pero no son isomorfos como grupos. Tal vez esto es una indicación de que el buen contexto para su pregunta no es abstracto topológica de los grupos, pero conectado topológicos, grupos, o incluso conectado Mentira grupos.